数学学习与现实

寒假的时候，鉴于要学习线性代数的缘故，自己找书看了一点，一本是在UCLA念书的好友传给我的电子版教材《Introduction to Linear Algebra, 4th edition》，另一本是在浙大竺院的好友跟我说的《代数与几何》。不过两本书都只读了一点点，拿这两本来说事总归是让人不好意思。后来想到老师上个学期的时候提过《吉米多维奇数学分析习题集》，便从网上找到一个排版很不错的非扫描版，空闲的时候，翻着书中的习题思考计算过，大多都有难度，放在这里也让人很难开口说自己要写出一篇读书笔记来。某日，突然想到自己高中的时候买过一本书就叫作《数学之美》，想来真是切题极了，故而温故了一番。

其实很多时候，我觉得不止是我自己，许多人都会疑惑数学家们推演极致的形式逻辑在现实生活当中到底有什么样的用处呢？比如说一些模型，一些算法，一些公式，纷繁复杂，距离生活未免太遥远。然而然而，作者在书中，点拨出许许多多数学的“实际”应用。当然作者并没有在书中进行事无巨细地讲解，而是深入浅出，让读者容易接受。纵使数学在计算与计算上十分复杂，但是数学模型本身却又高度的概括性，有时候一些看似毫不相关的领域却可以用一个精简的数学模型来建构，比如说新闻分类背后的余弦定理，自然语言处理背后的统计学模型。

作者在书中用他自身所从事的行业与工作，呈现了数学与语言学是怎么结合在一起——利用统计学为纽带。原本相去甚远的两个学科，在完成一项工作——翻译——的时候，联系在了一起。我是很意外的。以前是看到数学怎么用在自然科学当中的，感受到数学怎么用在社会学之类的学科当中，对于不同语言之间的翻译，我也以为是按照某种算法模拟出自然语言的语法结构来对待翻译文本进行解构并在目标语言当中作出相应的结构，但是我没有想到居然可以用统计学来完成这件事情。总觉得单纯靠统计，得到的精度会很低，毕竟灵活性并不高，没想到实验结果却是统计的正确率比语法处理要高。

说到统计学这里，我不禁想说概率论的问题。这两者在大学的数学教科书大抵都是放在一起，名为概率论与数理统计。还没有学到统计学，不知道统计学与概率论相比难度如何，只是近来学着各种概率分布，觉得概率论真是好难。特别是到正态分布这一部分，虽然可以感受到正态分布的强大之处，同时也感受到了概率论的复杂之处。比如说，对于数据不同规模下，期望与方差的调整。

之前阅读的时候只关注于文本本身以及跟书中的数学计算死磕，忽略许多东西。这回阅读的时候，倒是让我对数学建模产生兴趣。以前的时候，对于数学建模只闻其声不知其人，而现在，则是被数学构建的模型所感动。这种感动来自于一种简洁而有力的美感，就像是物理学的公式或是定理一样。

作者在书中的第九章讲到了“图论”，并将它与网络爬虫练习在一起。图论，即便是对于现在的我，也是朦朦胧胧的，而网络爬虫，我自然知道它是搜索引擎构架的一个基础。故而在这里，有了这么一个问题，如何具有效率地把互联网的东西构建起一个索引从而可以被用户搜索到。在这里，“图论”就被派上用场了。而图论的起源则看起来跟这件事，八竿子打不着。它要追溯到大数学家欧拉诞生的那个年代，要围着欧拉那著名的哥尼斯堡过桥问题展开。欧拉对这个问题证明与论断，差不多是图论的开始。从这个问题里，作者则引出了另一个问题：访问中国的各种城市，最优的方法是怎么样的？于是乎从中点明了“遍历算法”与“广度优先算法”。而这个问题其实就是把互联网的问题给具象化，将互联网上的一个个网页当成了中国的一个个地方。在这么一个过程中，一个数学上的模型就被应用到了实际当中，并发挥巨大的作用。即便是作者本身，也不禁说：“很多数学方法就是这样，看上去没有什么实际用途，但是随着时间的推移会一下子派上大用场。这恐怕就是世界上还有很多人毕生研究数学的原因。”关于此，我还想补充一个论点，当初物理学家统一两个基本力的时候，所使用到的公式便是大数学家欧拉在百年前所研究得到的。

书中篇章的结构还有一点让人觉得很好，就是延伸阅读这一块目录。每个章节后面所跟的延伸阅读，或进一步地阐述数学问题，比如说上面第九章当中便提供了图论的两点补充说明：一个是欧拉七桥问题的证明，另一个则是构建网络爬虫的工程要点（对于算法的选择问题）。作者自己也在前言当中写道，书中提供这一部分供油一定数学基础的读者参考。小生嘛，大抵算得上有半吊子的数学基础吧。

说到这里，我不禁想说，读书的过程就像是在经历一个个数学建模的过程。从一开始实际的问题，再广泛地联系和运用所有的知识，抽象到数学的层面进行考虑，提炼其中关键的参变量。

除了关于数模，读书的时候还让人想到另一个问题，那就数学老师的教学水平。我不禁想到在《吉米多维奇数学分析习题集》的出版前言当中提到的，翻译以及作出解答的数学学者的教学水平是受到人们的赞誉的。联想到老师上个学期让我们写的关于自己数学学习中遇到的一位位老师，让人不禁想说一位高水平的数学老师实在是很重要的。好的老师能把数学讲得很明白，把一个深奥的问题讲的简单，能够讲出数学的趣味来，然而坏的老师则实在是面目可憎。遥想当初的高中数学老师，念及当下的大学数学老师，说起来也是人生幸事。高中数学老师让我真心有些喜欢上数学，而大学数学老师则是让人觉得讲课的时候很有趣啊。