数学与哲学

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  Difoil (多做少想)

  数学与社科的相似之处在于：作为其理论体系基础的概念都是主观的预设和其对事实的抽象。 (更多)

  数学与社科的相似之处在于：作为其理论体系基础的概念都是主观的预设和其对事实的抽象。 (收起)

  2011-10-02 21:56:27   1回应

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  Difoil (多做少想)

  数学与逻辑学不关涉事实；不能经由事实得到证明或证伪。人们只能对其自洽性和一致性进行解释。理论本身有可能会因为其所指涉的条件从未出现而变得毫无相关性，或者因为假定条件的不够充分而被认为是不充分的，但是其不可能被否证（这里的否证是在经验的意义上说的）。 延伸见《社会科学的事实》 (更多)

  数学与逻辑学不关涉事实；不能经由事实得到证明或证伪。人们只能对其自洽性和一致性进行解释。理论本身有可能会因为其所指涉的条件从未出现而变得毫无相关性，或者因为假定条件的不够充分而被认为是不充分的，但是其不可能被否证（这里的否证是在经验的意义上说的）。 延伸见《社会科学的事实》 (收起)

  2011-10-01 17:19:06   回应

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  Difoil (多做少想)

  任何“真”都有其预先假定的范围，亦即特定的经验所涵盖的范围。 (更多)

  任何“真”都有其预先假定的范围，亦即特定的经验所涵盖的范围。 (收起)

  2011-10-01 17:10:34   回应

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  han (千卷蠹书忘岁月 一杯浊酒信乾坤)

  ---不能从经验与观察得出，只能靠抽象的思考证明 【无理数的发现标志着有了不能实际测量的数。】 ---万物皆数：皆可用自然神或分数来表示 ---无理数与连续性密切相关【无理数就像芝诺二分悖论一样，是试图表达和解释数轴连续性的结果。】 ---连续性问题与无穷问题密切相关【莱布尼茨：连续性以无穷小量来定义---理想概念】 ---连续统：实数理论【戴德金、康托】 ----实数是有理数的分割 【有理数之间的缝隙无理数能... (更多)

  ---不能从经验与观察得出，只能靠抽象的思考证明 【无理数的发现标志着有了不能实际测量的数。】

  ---万物皆数：皆可用自然神或分数来表示

  ---无理数与连续性密切相关【无理数就像芝诺二分悖论一样，是试图表达和解释数轴连续性的结果。】

  ---连续性问题与无穷问题密切相关【莱布尼茨：连续性以无穷小量来定义---理想概念】

  ---连续统：实数理论【戴德金、康托】

  ----实数是有理数的分割 【有理数之间的缝隙无理数能“填上”吗 // 无理数就像芝诺二分悖论一样，是试图表达和解释数轴连续性的结果。无理数是有理数轴在技术上不连续的原因。象二分悖论的可恶无穷回归一样，无理数代表有理数轴上的缝隙或洞眼。通过这些缝隙，无穷没完没了的混乱闯进】

  ----连续归纳原理

  数学上的连续性的实在性问题【非经验还是与经验相联系】

  运动变化----能量交换转化----数表示能量

  知识------信息-----数记取

  数的表示：矛盾的双方

  【对万物皆数的不断重新理解：一个是非经验，一个可能是无穷；另一可能是不同维度】

  【需：哲学上对无穷、连续性的认识；现代数学的认识】

  公理的自明性【何谓自明，何需自明，如何自明】【公理的几个性：自明+相容（协调）+相互独立性+完全】

  哪一个是真？【真的唯一？何谓真？为真有条件吗？相对性？】【非欧几何与欧几的关系，如两种温度计吗？】

  约定---有用【实践经验的反应/愿望】？

  ---飞矢不动的分析 【出于亚里士多德《物理学》209a，对其其讨论间3、6、8卷，《形》9卷】

  【张景中】两个时刻才有动与不动，瞬间为一个时刻，无比较，无所谓动与不动（静止）

  ----变量与函数：精确描述运动与变化的工具

  ---以映射和函数来描述运动：映射的连续性【连续函数】（差别小：主、从变元）

  ----瞬时是啥？【非两个时刻】（无时刻--无时间---怎么会有速度呢？）

  【不能理解张景中描述的瞬时速度。这个瞬时还是速度吗？如果不是，看不出差别。照前面说，瞬间是个位置，没有运动，也没有速度，也谈不上静止。这里又谈速度了。两个速度一样吗？（可能要将常量与变量再说清楚）-----重读p30--34，“就要成为0而不是0的时候，两个无穷小之比”，因此无穷小量是什么？p34，不是量，是极限（牛顿）--p34-35 F不是路程，是状态参量，微商与导数不是路程，是状态的变化率。这种变化不是路程的变化，莫非有变化但不可见？对贝克莱的反驳是何种反驳？这里的微量的确象鬼魂（非直观）。是什么？】【芝诺悖论中的点事什么？几何学的抽象？实际的物理位置？两者都是？鬼魂问题所牵涉的是数学试题的实在性问题。】【参见郑毓信：《数学哲学与数学教育哲学》49-51，无穷小方法的矛盾——贝克莱悖论】

  极限理论对牛的替代

  非标准分析：鲁宾孙//无穷小与实数

  表达请了无穷小列与极限，对我是不够的。因其哲学意义仍未明。【因此，“无穷”“极限”仍在雾中】

  ---实在无穷与潜在无穷的差别 【潜在，将无穷驱逐到虚幻境界，抚平了数学对它无法处理的无穷大的厌恶，也可能使微积分产生耗费了1700年】

  ---伽利略的无穷思考

  ---康托：比较无穷的方法

  ---无穷集的特征：和自己部分一样多

  ---希尔伯特：无穷旅店

  ---康托的证明与发现：代数数和自然数一样多// 一条线段上的点比自然数多 // 线段上的点和全空间一样多// 自然数的全体构成最小的无穷集（阿列夫零）

  ----超越数

  ---哲学和数学对概念的不同把握：理解、解释----推理

  ----为什么到19世纪才认识？【古人对无穷的态度与今人同吗？参见古希腊人对无穷的态度】

  ----微积分、集合论产生矛盾的根源何在？

  ---弗雷格：算术归为逻辑

  ---罗素悖论：触动集合论、微积分-----引出第三次危机

  ---罗素的解决方法：分层引入

  ----悖论原因：不加限制地使用无限抽象原则

  ----策墨罗：有限抽象原则

  -----ZFS公理系统

  ----数学实在论观点

  -----连续统假设

  -----ZFS系统中可接受两种集合论———康托尔全域

  ----在不同公理系统中，如何选择？

  策墨罗：任意选择公理 / 是否要纳入ZFS公理系统

  公理：约定的规则------什么是自明之理【也是实在性问题】

  三次危机：1、实数理论、连续性；2、微积分、弄清芝诺悖论3、数学自身的基础

  ---柏拉图与亚里士多德的对立：实在—反实在 //何谓“实在”，厘清此菜可看出两者的对立是否今人实在与反实在的对立。//亚是约定论的源头吗？

  ---数学对象作为信息----信息的特征？

  ----数学家的存在与哲人存在的不同

  -----20世纪的唯名论？

  ----康德：感性是掌握数学知识的能力？ //先验的洞察力？直觉能力？

  ----约定论：避开了数学的内容

  ----逻辑主义：算术--（还原）---逻辑----公理化的集合论（多个）

  ----直觉主义：构造（有限步骤） // 时间直觉已足够 // 否认逻辑上的排中律 //不用反证法 //丰富了数学领域 //贡献都是非构造性的

  ---形式主义：数学推理的符号操作 // 形式系统能描述出非构造性的数学

  ----两大目标：1、能否推出所有真命题2、系统是否协调（推不出矛盾）

  ----各派：导致对“算法”的研究---计算机理论

  ----数学研究对象：抽象形式关系

  ----哥德尔定理：协调性落空【其实是系统内落空】

  ----不同的算术系统-----荒谬吗？

  ----仅是“有限手段难于描述无穷的性质吗？”----形式系统的局限性 // 人类认识的有限----客观规律的无限====只需认识有穷相联系的无穷

  ----寻求更大的系统（超出行驶系统规则的推理） // 扩大算术形式系统 //悬殊协调性需在形式系统之外证明 【这是哥德尔不完全定理引出的，但是否在康托的无穷研究中已有认识？】

  ----自己不能证明====实践检验 【是一回事吗？】

  ---布尔巴基：数学理论间的统一

  ---结构：【结构与数的分离】

  ---三种母结构：1、代数结构（运算---来自数量） 2、序结构（先后-时间观念） 3、拓扑结构（连续性--空间经验）

  ----一个系统可以有几种结构 // 结构的复合、交叉、变化

  ----公理系统不完全性的意义

  ----三种主义把数学看成不可再分的东西，洗完一劳永逸地作出先验处理

  ---问题只在于选择适当的结构，而不在于数学结论是否真理 // 实践检验 【再次强调】

  ----概率论、数理统计：微观随机导出宏观决定

  ----迭代=混沌:貌似随机实为确定

  ---微分动力系统：时间上的微观决定性呈现为宏观的随机性 //稳定性：结构稳定性--渐近稳定性// 分支、分岔

  ---事件与原因以稳定方式相联系：必然事件 //反之（小扰动引起事件性质变化）：偶然事件

  -----例证法利用了命题涉及的对象间的关联性

  归纳的有效性：（处登记和范围内已证明？）

  演绎揭示事物内在联系

  数学关心变化中不变的东西 （拓扑：不动点）====规律

  ---哲学：望远镜 // 数学：显微镜 //哲学退出，学科成立

  ----【柏拉图、康托唯的什么心】

  -----如何证明世界是物质的？

  ----黑格尔的樱桃李子比公孙龙晚了两千年

  ----现代数学十分关心事物的总体性 【待体会】

  ----用纯形式逻辑推理证明，准确地预知未来是不可能的、会到处矛盾的【例子是纯形式逻辑吗？】

  ----数学在研究“一样”时，舍弃标准，专注于结构（关系）

  ----数学的同意反复给出了新东西

  -----间距：事物不依赖观察系统的性质 【啥？---光速？】

  -----罗素没有形成数学思维的习惯【？】 (收起)

  2011-04-23 23:27:41   回应

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  Difoil (多做少想)

  任何“真”都有其预先假定的范围，亦即特定的经验所涵盖的范围。 (更多)

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  2011-10-01 17:10:34   回应

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  数学与逻辑学不关涉事实；不能经由事实得到证明或证伪。人们只能对其自洽性和一致性进行解释。理论本身有可能会因为其所指涉的条件从未出现而变得毫无相关性，或者因为假定条件的不够充分而被认为是不充分的，但是其不可能被否证（这里的否证是在经验的意义上说的）。 延伸见《社会科学的事实》 (收起)

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  数学与逻辑学不关涉事实；不能经由事实得到证明或证伪。人们只能对其自洽性和一致性进行解释。理论本身有可能会因为其所指涉的条件从未出现而变得毫无相关性，或者因为假定条件的不够充分而被认为是不充分的，但是其不可能被否证（这里的否证是在经验的意义上说的）。 延伸见《社会科学的事实》 (收起)

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