---不能从经验与观察得出，只能靠抽象的思考证明 【无理数的发现标志着有了不能实际测量的数。】
---万物皆数：皆可用自然神或分数来表示
---无理数与连续性密切相关【无理数就像芝诺二分悖论一样，是试图表达和解释数轴连续性的结果。】
---连续性问题与无穷问题密切相关【莱布尼茨：连续性以无穷小量来定义---理想概念】
---连续统：实数理论【戴德金、康托】
----实数是有理数的分割 【有理数之间的缝隙无理数能“填上”吗 // 无理数就像芝诺二分悖论一样，是试图表达和解释数轴连续性的结果。无理数是有理数轴在技术上不连续的原因。象二分悖论的可恶无穷回归一样，无理数代表有理数轴上的缝隙或洞眼。通过这些缝隙，无穷没完没了的混乱闯进】
----连续归纳原理
数学上的连续性的实在性问题【非经验还是与经验相联系】
运动变化----能量交换转化----数表示能量
知识------信息-----数记取
数的表示：矛盾的双方
【对万物皆数的不断重新理解：一个是非经验，一个可能是无穷；另一可能是不同维度】
【需：哲学上对无穷、连续性的认识；现代数学的认识】
公理的自明性【何谓自明，何需自明，如何自明】【公理的几个性：自明+相容（协调）+相互独立性+完全】
哪一个是真？【真的唯一？何谓真？为真有条件吗？相对性？】【非欧几何与欧几的关系，如两种温度计吗？】
约定---有用【实践经验的反应/愿望】？
---飞矢不动的分析 【出于亚里士多德《物理学》209a，对其其讨论间3、6、8卷，《形》9卷】
【张景中】两个时刻才有动与不动，瞬间为一个时刻，无比较，无所谓动与不动（静止）
----变量与函数：精确描述运动与变化的工具
---以映射和函数来描述运动：映射的连续性【连续函数】（差别小：主、从变元）
----瞬时是啥？【非两个时刻】（无时刻--无时间---怎么会有速度呢？）
【不能理解张景中描述的瞬时速度。这个瞬时还是速度吗？如果不是，看不出差别。照前面说，瞬间是个位置，没有运动，也没有速度，也谈不上静止。这里又谈速度了。两个速度一样吗？（可能要将常量与变量再说清楚）-----重读p30--34，“就要成为0而不是0的时候，两个无穷小之比”，因此无穷小量是什么？p34，不是量，是极限（牛顿）--p34-35 F不是路程，是状态参量，微商与导数不是路程，是状态的变化率。这种变化不是路程的变化，莫非有变化但不可见？对贝克莱的反驳是何种反驳？这里的微量的确象鬼魂（非直观）。是什么？】【芝诺悖论中的点事什么？几何学的抽象？实际的物理位置？两者都是？鬼魂问题所牵涉的是数学试题的实在性问题。】【参见郑毓信：《数学哲学与数学教育哲学》49-51，无穷小方法的矛盾——贝克莱悖论】
极限理论对牛的替代
非标准分析：鲁宾孙//无穷小与实数
表达请了无穷小列与极限，对我是不够的。因其哲学意义仍未明。【因此，“无穷”“极限”仍在雾中】
---实在无穷与潜在无穷的差别 【潜在，将无穷驱逐到虚幻境界，抚平了数学对它无法处理的无穷大的厌恶，也可能使微积分产生耗费了1700年】
---伽利略的无穷思考
---康托：比较无穷的方法
---无穷集的特征：和自己部分一样多
---希尔伯特：无穷旅店
---康托的证明与发现：代数数和自然数一样多// 一条线段上的点比自然数多 // 线段上的点和全空间一样多// 自然数的全体构成最小的无穷集（阿列夫零）
----超越数
---哲学和数学对概念的不同把握：理解、解释----推理
----为什么到19世纪才认识？【古人对无穷的态度与今人同吗？参见古希腊人对无穷的态度】
----微积分、集合论产生矛盾的根源何在？
---弗雷格：算术归为逻辑
---罗素悖论：触动集合论、微积分-----引出第三次危机
---罗素的解决方法：分层引入
----悖论原因：不加限制地使用无限抽象原则
----策墨罗：有限抽象原则
-----ZFS公理系统
----数学实在论观点
-----连续统假设
-----ZFS系统中可接受两种集合论———康托尔全域
----在不同公理系统中，如何选择？
策墨罗：任意选择公理 / 是否要纳入ZFS公理系统
公理：约定的规则------什么是自明之理【也是实在性问题】
三次危机：1、实数理论、连续性；2、微积分、弄清芝诺悖论3、数学自身的基础
---柏拉图与亚里士多德的对立：实在—反实在 //何谓“实在”，厘清此菜可看出两者的对立是否今人实在与反实在的对立。//亚是约定论的源头吗？
---数学对象作为信息----信息的特征？
----数学家的存在与哲人存在的不同
-----20世纪的唯名论？
----康德：感性是掌握数学知识的能力？ //先验的洞察力？直觉能力？
----约定论：避开了数学的内容
----逻辑主义：算术--（还原）---逻辑----公理化的集合论（多个）
----直觉主义：构造（有限步骤） // 时间直觉已足够 // 否认逻辑上的排中律 //不用反证法 //丰富了数学领域 //贡献都是非构造性的
---形式主义：数学推理的符号操作 // 形式系统能描述出非构造性的数学
----两大目标：1、能否推出所有真命题2、系统是否协调（推不出矛盾）
----各派：导致对“算法”的研究---计算机理论
----数学研究对象：抽象形式关系
----哥德尔定理：协调性落空【其实是系统内落空】
----不同的算术系统-----荒谬吗？
----仅是“有限手段难于描述无穷的性质吗？”----形式系统的局限性 // 人类认识的有限----客观规律的无限====只需认识有穷相联系的无穷
----寻求更大的系统（超出行驶系统规则的推理） // 扩大算术形式系统 //悬殊协调性需在形式系统之外证明 【这是哥德尔不完全定理引出的，但是否在康托的无穷研究中已有认识？】
----自己不能证明====实践检验 【是一回事吗？】
---布尔巴基：数学理论间的统一
---结构：【结构与数的分离】
---三种母结构：1、代数结构（运算---来自数量） 2、序结构（先后-时间观念） 3、拓扑结构（连续性--空间经验）
----一个系统可以有几种结构 // 结构的复合、交叉、变化
----公理系统不完全性的意义
----三种主义把数学看成不可再分的东西，洗完一劳永逸地作出先验处理
---问题只在于选择适当的结构，而不在于数学结论是否真理 // 实践检验 【再次强调】
----概率论、数理统计：微观随机导出宏观决定
----迭代=混沌:貌似随机实为确定
---微分动力系统：时间上的微观决定性呈现为宏观的随机性 //稳定性：结构稳定性--渐近稳定性// 分支、分岔
---事件与原因以稳定方式相联系：必然事件 //反之（小扰动引起事件性质变化）：偶然事件
-----例证法利用了命题涉及的对象间的关联性
归纳的有效性：（处登记和范围内已证明？）
演绎揭示事物内在联系
数学关心变化中不变的东西 （拓扑：不动点）====规律
---哲学：望远镜 // 数学：显微镜 //哲学退出，学科成立
----【柏拉图、康托唯的什么心】
-----如何证明世界是物质的？
----黑格尔的樱桃李子比公孙龙晚了两千年
----现代数学十分关心事物的总体性 【待体会】
----用纯形式逻辑推理证明，准确地预知未来是不可能的、会到处矛盾的【例子是纯形式逻辑吗？】
----数学在研究“一样”时，舍弃标准，专注于结构（关系）
----数学的同意反复给出了新东西
-----间距：事物不依赖观察系统的性质 【啥？---光速？】
-----罗素没有形成数学思维的习惯【？】
(收起)
