Chapter 3. Mathematics and Reality 数学与实在
Mandelbrot集
这是一个相当著名的分形(Fractal)图案，它就是复平面上的Mandelbrot集(Mandelbrot被誉为分形之父)。
本章描述了实数的一些概念
可列(可数)集：可列集是指其元素与自然数集的元素存在一一对应的映射的集合。如整数集，偶数集，有理数集。即它的元素可以按某种顺序一个一个数出来。举个例子，为什么有理数集是可数的呢？一张图搞定:
实数集(连续统)：人们不禁会问，实数集是可数集吗？答案是否定的。康托(Georg Cantor,1845~1918,德国数学家，集合论创立人)用一个叫对角线删除法的玩意儿巧妙地证明了实数区间[0,1]是不可数的集合。具体方法请猛击：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%B0%8D%E8%A7%92%E8%AB%96%E8%AD%89%E6%B3%95
实数集也被称为连续统。那么是否存在元素比可列集“多”，又比实数集“少”的集合呢？这就是康托提出的“连续统”假设，至今悬而未决。(详情：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%BB%9F%E5%81%87%E8%AE%BE)
实数的实在性(Reality)：数学是理想化的存在，而在物理意义上，时间和空间很可能都是离散的，在微观尺度下，实数很可能失去它的威力。但在绝大部分范围内，实数与自然界都是和谐统一的。
This confidence- perhaps misplaced- must rest (although this fact is not often recognized) on the logical elegance, consistency, and mathematical power of the real number system, together with a belief in the profound mathematical harmony of Nature.
可计算数:其小数展开可被某种构造连续位数的算法实现的实数叫可计算数。可计算数是可数的。每一个可计算数与一台图灵机对应，而图灵机是可列的。
复数：这个没什么好说的
Mandelbrot集的构成：对于一个复数C，对其反复进行映射f(C)=C^2+C，可以得到一个从0开始的序列：0,C,C^2+C,C^4+2*C^3+C^2+C......，若此序列的每个数在复平面上的分布有界则C就在Mandelbrot集中。如C=-1，C=i都在Mandelbrot集中，它们对应的序列分别为0,-1,0,-1,0......与0,i,i-1,-i,i-1,-i......而C=1显然不在Mandelbrot集中。图中的黑色部分在复平面上表示的即为Mandelbrot集中的复数。
由Mandelbrot集可以看到，如此美妙的图形显然不是某个数学家设计出来的，它本身就存在，只是由数学家们去发现罢了。这恰说明了数学对象不是数学家的精神意识的理想化，它具有深刻的实在性。此一观点即数学柏拉图主义(Mathematical Platonism)，其关键论点在于数学对象是独立于人类思想的存在，具有某种先验性。
Is mathematics invention or discovery? When mathematicians come upon their results are they just producing elaborate mental constructions which have no actual reality, but whose power and elegance is sufficient simply to fool even their inventors into believing that these mere mental constructions are 'real'? Or are mathematicians really uncovering truths which are, in fact, already 'there' truths whose existence is quite independent of the mathematicians' activities? I think that, by now, it must be quite clear to the reader that I am an adherent of the second, rather than the
first view, at least with regard to such structures as complex numbers and the Mandelbrot set.
(收起)
