哥德尔、艾舍尔、巴赫

按有用程度 按页码先后 最新笔记

• 

  第38页

  荒沃 (无料行开，实力大晒。)

  

  在网上见诸多网友对《哥德尔、艾舍尔、巴赫》一书赞不绝口，今日首次开卷，真是名不虚传，甚是喜欢。这是一本超过千页的大书，其翻译为中文的过程亦甚为坎坷。而这部被赞为奇书的大作竟能有如此生动活泼的导言，确实让笔者对未来的阅读亦充满信心。此中文版本采用了移译的翻译手法，将许多陌生的名词中国化了，所以初次阅读之体验可谓兴致盎然。 《导言》中，作者先是提到了两位艺术家，以为是约翰•塞巴斯蒂安•巴赫（Johann... (更多)

  在网上见诸多网友对《哥德尔、艾舍尔、巴赫》一书赞不绝口，今日首次开卷，真是名不虚传，甚是喜欢。这是一本超过千页的大书，其翻译为中文的过程亦甚为坎坷。而这部被赞为奇书的大作竟能有如此生动活泼的导言，确实让笔者对未来的阅读亦充满信心。此中文版本采用了移译的翻译手法，将许多陌生的名词中国化了，所以初次阅读之体验可谓兴致盎然。

  《导言》中，作者先是提到了两位艺术家，以为是约翰•塞巴斯蒂安•巴赫（Johann Sebastian Bach），他是巴洛克时期的著名音乐家；另一位则是摩里茨•科奈里斯•艾舍尔（Maurits Cornelis Escher），他是一位著名的画家。对于前者，笔者知之甚少，在阅读之后特意去听了几首巴赫的曲子，笔者能感觉到正如书中所述那样，曲子中有一段又一段的重复，而在重复中又有细微的变化，比如他的小提琴独奏奏鸣曲，曲子中反反复复地出现同样的曲调，但是细微的音调变化让曲子听起来并不是那么枯燥无味。而对于后者，笔者过去欣赏过几幅作品，比如《上升与下降（Ascending and Descending）》以及《变形（Metamorphosis）》。笔者记得第一次见识《上升与下降》时的印象便是“悖论”。的确，在艾舍尔的许多作品中，都出现了类似的图像化的悖论，作者把它称作“怪圈”。

  
  《变形（Metamorphosis）》，艾舍尔（Maurits Cornelis Escher）绘

  读罢关于巴赫以及艾舍尔的部分，笔者心中已有几个关键词了：重复、变化、悖论（怪圈）。如此一来，此二位艺术界的大家还真是和库尔特•哥德尔（Kurt Gödel）有着紧密的联系。他是一位杰出的数学家、逻辑学家，其职业生涯中最重要的成果——不完备定理轰动了当时的数学（元数学）界，而在当今的科学研究（量子力学、混沌理论），我们也能看到哥德尔不完备定理的影子。而哥德尔不完备定理恰是发源于艾皮曼尼蒂斯悖论——逻辑上的“怪圈”——自指悖论。

  巴赫、艾舍尔、哥德尔，三者的成果即为音乐、画作、逻辑（数理逻辑）上的三个怪圈，恰似原书的封面那样，投影不一，但其实内在的实质是一样的。巴赫的音符在重复中，一面唱出主题，一面扮演和声；艾舍尔的阶梯，一面无限上升，另一面无尽下降；哥德尔的不完备定理，一面作为数理逻辑的内容存在，一面作为评价数理逻辑的存在。读罢导论，我感觉“自指”将在本书中占据大量的版面，正是“自指”制造了逻辑上的混乱，以至于罗素（Bertrand Arthur William Russell）与怀海特（Alfred North Whitehead）在其著作《数学原理（The Principle of Mathematics）》中把有自指性质的字图案集合排除出去了。

  值得注意的是，如果我们没有自指的意识（自我意识），或许就不会出现因为自指而产生的问题了。换句话说，自我意识是一种自指，如果没有这种意识，我们将不会意识到完全排除自吞语句会对我们（“我们”就是一种自指）的生活产生巨大的影响。笔者感觉人类处于这样的一种两难情境中，一方面需要一套没有悖论的逻辑（语言）体系，然而又要求这套体系满足自指的特性，在本能上不显得突兀。对于这种两难的挣扎，在数学上便表现为希尔伯特（David Hilbert）对数学的公理化设想，以及罗素与怀海特在《数学原理》中排除自吞集合的做法。

  然而，也正因为自指，我们的生活与机械有所不同（至少现在看上去是这样），我们有了自指的画作，有自指的音乐。更重要的是，我们会有“我”这个概念。人本身其实就是一个本书中提到的怪圈，而这个怪圈又会继续思考怪圈本身的存在，写出一本讨论怪圈著作。而这样的行为又恰似数学中的分形一般，同一种模式不断地重复、自指，变化出美丽而惊人的图案。

  如果真有一个上帝的存在的话，自指是祂留给人类的一个小小的缺憾，因为我们将永远不能拥有完美的公理系统去证明一切。然而，这也是一份厚礼，因为通过这种自指，我们会有更高一级的思考（Metathinking），从而意识到这种不完备的存在。

  末了，说一下题外话，过去笔者认为电影《I, Robot》翻译为《机械公敌》要比《我，机器人》强多了。现在这种看法看来得改变了。要知道，倘若人类制造出了具有自我意识的机械系统，这将带来多大的喜悦与恐惧。 (收起)

  2011-05-08 02:53:51   4回应

  收藏

  推荐
• 

  第122页

  kate (Embrace your role)

  断断续续和朋友一起读到这里。现在写一下我还记得或者理解的内容和大致思路。 一开始在讲“怪圈”。音乐中有巴赫的卡农（巴赫真的是在用一种类似数学的方法写音乐吗？我仍然觉得不能理解。也许只是一种工匠式的发现？）。艺术有埃舍尔的画（无限上升的轮回台阶）。数学有歌德尔不完全性定理。歌德尔不完全性定理和罗素悖论有一些关系，是讲，当数学家定义集合的时候，会遇到包含自身的集合这样的定义。但是这种情况下会产生悖论... (更多)

  断断续续和朋友一起读到这里。现在写一下我还记得或者理解的内容和大致思路。

  一开始在讲“怪圈”。音乐中有巴赫的卡农（巴赫真的是在用一种类似数学的方法写音乐吗？我仍然觉得不能理解。也许只是一种工匠式的发现？）。艺术有埃舍尔的画（无限上升的轮回台阶）。数学有歌德尔不完全性定理。歌德尔不完全性定理和罗素悖论有一些关系，是讲，当数学家定义集合的时候，会遇到包含自身的集合这样的定义。但是这种情况下会产生悖论（不包含自身的集合A，是否应该包含A呢？）。罗素和怀特海写《数学原理》就是想要建立一套系统。这套系统（从几个有限的假设？）可以整理好现今数理逻辑系统（还是包含别的数学范围？比如数论？）的所有知识。可是歌德尔发现，任何这样的系统里都有不可判定的命题。（歌德尔定理到底意味着什么？为何是个定理？这个可能有待整本书来解释？

  ===

  然后开始讲“系统”概念。一个系统就是一组规则。比如WJU系统：原始是WJ；另外有四条规则来变换出其它的字符序列。那么问题是，WU是不是这个系统里的呢？（即：WU是不是可以用那些规则，从WJU推出来？我目前认为是不可以的，因为。。。复制出J的规则不能生出3的倍数的J，而只有3个J才能抵消。。。不可能消除J）

  这里讲到了人和机器的区别。大家拿到这些规则，就会跃跃欲试在纸上写一些推导。而只有人会跳出推导过程审视一下自己在干什么。机器只会一直在试。如果进入了不可能完成的任务，它也不会停止……这是不是人和机器的根本区别呢？其实这个分界线也可以说是模糊吧^^b有些人会比较少跳出系统重新评估……而比较智能的机器可以时不时评估自己的performance……

  然后说了对判定过程的一些定义（我没有完全明白）。但是如何证伪呢？如果按照规则生成了想要的字符序列，那么我们说判定了。如果要证明一个序列是没有的呢？要到无限还无法生成才能证明？

  然后说到了刘易斯卡罗尔（我对爱丽丝漫游其境记印象不深了……）

  第二章先讲了两个系统的定义。把玩了一会儿后，作者宣布，我设计这个系统嘛，是用来和“加法”同构的，你看，我用的字母就是“加”和“等于”的单词的首字母。

  人类对意义的追求，就是在不同的事物中看到（和实际经验的？）同构。数学的起源就是如此。毕达哥拉斯就是摆小方阵来研究数学的。

  （读到这里我有点无法分辨哪些是数学哪些是现实了……这里的理解也开始吃力……）

  当人们写下：1+1=2这样的句子之后，可以想想它们为何正确？比如说可以拿一个东西，再拿一个东西，数数有两个东西……那么，当我们处理很大的数字相乘的时候，如何认为我们得出的结论是正确的呢？派人摆小石子方阵然后数？即使花很长时间数出来，也很有可能会有差错……所以人们学会了数学不诉诸于和现实同构……

  然后说到了“素数数无限的”的命题是真命题吗？这又是一个涉及无穷的证明。欧几里德的证明：N!+1是比N大的一个素数，来证明了素数的无限，这个证明绕过了无穷。

  第三章似乎没有顺着下去讲那个证明说明了什么……开始讲，我们定义合数（我们可以很容易想到，合数是无穷的）。那么合数的“衬底”，就是素数。这就和埃舍尔的某种画很相似：他们的深色部分是图案，但是他们的衬底也是图案。这个又类比到了音乐。一般我们听音乐会注意到主题部分。但是在卡农、赋格中，主题会在各个声部之间轮流担任，或者说，伴奏也是主题。

  然后说了一个东西类似于歌德尔定理：一个形式系统的非定理集可以不是任何一个形式系统的定理集。

  第四章的开头照例写了一个怪异的对话。结果我们看到对话的每一句的开头的词组成了一句话。第四章开头就在分析这个对话的内容。对话讲的子故事1:唱片机对唱片纹理的解读同构于空气的震颤，而空气的震颤同构于唱片机的震颤（然后共振了唱片机毁坏了它）。子故事2:杯子上面刻着BACH，演奏巴赫的那段用自己名字写的音乐造成杯子的震颤而碎裂。两个子故事可以互相映射，而贯穿于上面的乌龟的故事可以另外一层映射。然后，这个故事又可以和歌德尔定理映射（唱片机毁坏是系统中无法证明的定理）。

  这里又提到巴赫，他在音乐中自指，而curious的是，他没有完成这个作品就去世了。

  （所以说作者写这个故事就是为了让我们直观体验一下歌德尔定理吗？）

  然后作者给之前的加法系统增加了一个规则。结果发现了系统内有矛盾，pq系统无法和加法同构了。那么怎么办？不要紧，它还是可以和A+B<=C系统同构（汗）。

  然后说了欧几里德几何。欧几里德的几何原本，是从几条共设推理出的系统。其中最后一条共设，地位比较低。后来的数学家一直致力于证明它其实是前四条推出来的。结果一直没有成功。那么如何证明“某个设定一定要是一个共设”呢？我证明不出来它不是其它共设的结果，也不能说明它一定要是共设啊。

  从某个时候开始，数学家用“替换第五条共设得到一个新系统，然后推出一个矛盾来”的思路来证明第五条共设是必要的。然后纷纷得出了和直线性质相违背的结果。其中有些数学家意识到了这些证明发现了非欧几何。。。

  之前一直没有发现非欧几何，就是因为欧几里德的直线概念太深入人心了。

  （以上就是到目前为止的笔记^^b） (收起)

  2011-09-18 23:29:21   23回应

  收藏

  推荐
• 

  第30页

  飞机码头 (所不见的，是永远的)

  之前若干页的讨论让我产生的感觉是： 1） 当主语自己指向自己的时候，就把自己变成了宾语。这说明，自己其实也是有两个位格的。正像神有三个位格一样，是完全可以理解的。 主语 谓语 主语 主语 谓语 宾语 前者是实质，后者是被表现。这一“自我指向”的动作，如果没有第三者的话，就完全没有意义。因为主语本身不需要另外的或高或低的层级来谓语自己。主语必然对自己是全知全能的。 2）主语本身如果只有一个层级... (更多)

  之前若干页的讨论让我产生的感觉是：

  1）

  当主语自己指向自己的时候，就把自己变成了宾语。这说明，自己其实也是有两个位格的。正像神有三个位格一样，是完全可以理解的。

  主语 谓语 主语

  主语 谓语 宾语

  前者是实质，后者是被表现。这一“自我指向”的动作，如果没有第三者的话，就完全没有意义。因为主语本身不需要另外的或高或低的层级来谓语自己。主语必然对自己是全知全能的。

  2）主语本身如果只有一个层级，那它能否对自己全知全能呢？

  显然不能。

  正如圣三位一体一样，

  造物主耶和华 是主语

  圣灵 是宾语

  耶稣 是宾语

  三个位格同一。

  这就构成了相互的作用，此为道生一，一生二。和中国传统文化完全一致。 (收起)

  2011-02-16 13:33:30   3人收藏   回应

  收藏

  推荐

• 

  第1页

  Andychen (如果我是风，你就是无尽的天空)

  今天收到这本书，这学期买的第一本书。只看了前言，非常的有意思啊，真不愧为奇书。书中使用的通识性思考方式是很难见的，印证了作者的功力深厚，对多个学科均有涉猎。 估计得花不少时间慢慢看了，另外现在当当网还有货，有兴趣的读者赶快去买 (更多)

  今天收到这本书，这学期买的第一本书。只看了前言，非常的有意思啊，真不愧为奇书。书中使用的通识性思考方式是很难见的，印证了作者的功力深厚，对多个学科均有涉猎。

  估计得花不少时间慢慢看了，另外现在当当网还有货，有兴趣的读者赶快去买 (收起)

  2011-06-02 16:34:29   回应

  收藏

  推荐
• 

  第1页

  周福生

  没什么后天白天包头 热人还热乎乎 任何害人合伙人黄日华好好 (更多)

  没什么后天白天包头 热人还热乎乎 任何害人合伙人黄日华好好 (收起)

  2011-07-02 07:37:48   回应

  收藏

  推荐
• 

  第1页

  algebraization

  高中时就有,装帧跟商务印书馆同时期出版的[《语言哲学》马蒂尼奇]一摸一样.其内容颇有点像当年莱布尼兹给贵|妇太|太们写得通俗版哲学读物,只是当今快节奏的社会里权|贵的贵|妇太|太们这点附庸风雅的样子也免了. 讲4点: 1 一本元数学方面的科普读物,跟音乐创作和欣赏进行大量类比.个人以为牵强附会.但也容易理解,因为阳春白雪的基础科学尤其是理论科学研究本来就来源于上流社会里部分高智商的绅士,就是在今天科学精英也把自己的事... (更多)

  高中时就有,装帧跟商务印书馆同时期出版的[《语言哲学》马蒂尼奇]一摸一样.其内容颇有点像当年莱布尼兹给贵|妇太|太们写得通俗版哲学读物,只是当今快节奏的社会里权|贵的贵|妇太|太们这点附庸风雅的样子也免了.

  讲4点:

  1 一本元数学方面的科普读物,跟音乐创作和欣赏进行大量类比.个人以为牵强附会.但也容易理解,因为阳春白雪的基础科学尤其是理论科学研究本来就来源于上流社会里部分高智商的绅士,就是在今天科学精英也把自己的事业看成是一种艺术(什么东西上了档次都会往艺术二字上靠).

  2 从后来的发展情况来看,作者对人工智能的前景还是乐观了.

  3 作者也夸大了基因工程(等到基因工程在一知半解的西方公众中形成热潮已是上世纪90年代了).

  生物体作为一种有组织的与"外界环境"有着复杂交互乃至交换的复杂系统,其外在性状乃至整个生命过程中的大部分事件根本不可能由离散的代码来决定.克隆希特勒是个肤浅的臆想.其实早有一小部分生物学家(尤其是一些生态学家)指出过这一点.只可惜面对赶时髦的肤浅公众和一个巨大的产业利益链条(先把资金圈到手再说,再比如医疗费...)也是大音希声无人知.

  其实了解集合论的人也该知道:可列集连实数集都不能一一对应,更不要说具有更大基数的无穷集合了(因为不能从一个一个分子考虑宏观物体如一个生命体).有多少人会如此想呢?

  4 最后,商务印书馆的书只能是小众书籍.也正因为如此才几十年不受各种所谓宣传调子的影响,不知是幸还是不幸;就说本书,除了对基础科研热爱的大中学生,还能有什么读者呢. (收起)

  2011-09-05 17:15:20   回应

  收藏

  推荐

• 

  第198页

  Sidney (燃烧的岁月)

  复杂到一定程度的递归系统，其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。这不就是使智能成其为智能的性质之一吗？与其仅仅思考由可以递归的调用自身的过程组成的程序，为什么不考虑得更复杂一些，设计出可以修改自身的程序——可以作用于程序本身，扩展、改进、推广、加固程序的程序？智能的核心之处大概就是这种“交织的递归”之所在。 (更多)

  复杂到一定程度的递归系统，其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。这不就是使智能成其为智能的性质之一吗？与其仅仅思考由可以递归的调用自身的过程组成的程序，为什么不考虑得更复杂一些，设计出可以修改自身的程序——可以作用于程序本身，扩展、改进、推广、加固程序的程序？智能的核心之处大概就是这种“交织的递归”之所在。

  (收起)

  2012-02-11 13:50:32   回应

  收藏

  推荐
• 

  第35页

  Sidney (燃烧的岁月)

  感应和执行单元紧密耦合的反馈回路既是智能的基础，亦是核心。 无疑，包含着那些直接或者间接地改变自己的规则的怪圈是智能的核心。 (更多)

  感应和执行单元紧密耦合的反馈回路既是智能的基础，亦是核心。

  无疑，包含着那些直接或者间接地改变自己的规则的怪圈是智能的核心。

  (收起)

  2012-01-26 22:05:07   回应

  收藏

  推荐
• 

  第100页

  勤天 (智慧是一个由知识构成的生态系统)

  这不是笔记，这是一点点想法。 我现在对人生有了些新的看法。 我感觉自己以前活在一个有许许多多的“不可能”构成的茧里。我生活在一个很舒适的而且充满确定性的环境里，不是确定能成的事我不做，不是确定有用的书我不看。 结果导致的问题是我成了一个无比乏味的中年男人。 有时我在想为什么我是一个这么乏味的人？我的结论是因为尝试太少，读书太少，导致我的脑子里的模型太少。 思维的维度太单一，对事物的理解太肤浅。 用下... (更多)

  这不是笔记，这是一点点想法。

  我现在对人生有了些新的看法。

  我感觉自己以前活在一个有许许多多的“不可能”构成的茧里。我生活在一个很舒适的而且充满确定性的环境里，不是确定能成的事我不做，不是确定有用的书我不看。 结果导致的问题是我成了一个无比乏味的中年男人。

  有时我在想为什么我是一个这么乏味的人？我的结论是因为尝试太少，读书太少，导致我的脑子里的模型太少。 思维的维度太单一，对事物的理解太肤浅。 用下棋来比喻，不会下棋的看到的是棋子的移动，刚入门的看到可以吃子，高手看到诱着，超一流看到的是自负。

  我以为棋子的移动就是生活的全部，结果活的就象颗棋子一样。 而且还总是幻想某一天会下出一盘好棋。

  这本书告诉我的就是，人要不断地丰富自己大脑里的模型。 然后用这些模型再来分析自己然后进一步改进自己。 不断的跳出维度之外的观察自己，最终是可以不断的超越自己的。

  我们内在的突破，会改变我们看世界的角度，角度转变帮助我们改变自己的行为，行为的改变又会带来认识的提升，最终又向着另一个层面去突破。

  (收起)

  2011-12-22 14:13:49   回应

  收藏

  推荐