乔治布尔自学四门外语，他喜欢看书，更喜欢看数学书，因为没钱买书而看数学书花费的时间更长。他认为“符号无需什么帮助就能产生问题的正确答案”。他将逻辑推理代数化。他开创了逻辑代数，在离散数学教学中，逻辑代数看起来是那么理所当然，但在当时却是开创性的。
“你的苦难和眼泪饱经风霜，但在智慧上你依然年轻；你对过去所积存的痛苦思想，出自那忘却而疲惫的内心。”乔治布尔
弗雷格提出了把普通数学中一切演绎推理都包含在内的第一个完备的逻辑体系，他用逻辑分析工具来研究语言的开拓性工作为哲学的主要发张提供了基础。
他说“恰当地选择符号，语言就会获得力量”，这听起来像是描述咒语。事实也正是这样，他创造了思维的形式语言（句法）——all，exist，if...then...，and，or，not的符号表示及其运算规则。
弗雷格不仅仅是对逻辑进行了一种数学处理，他实际上创立了一种新的语言……他的目标是要表明一切数学如何可能被建立在逻辑的基础之上……必须找到某种不用逻辑来发展他的逻辑的方法……精确的语法规则或句法规则则把他的概念文字发展成一种人工语言。这就使逻辑推理表示为机械演算即所谓的推理规则成为可能，这些规则仅仅与符号排列的样式有关……概念文字是我们今天使用的所有计算机程序设计语言的前身。……弗雷格希望用纯逻辑术语来定义自然数……
他的目标是为算术提供完备的基础，他推进了一大步。
亚里士多德称“一个不断超越任何有限界限的过程”为“潜无限”。无限的本性问题困扰了很多思想家、哲学家、数学家乃至神学家（对神学家，这是好事，无限是上帝的领域），直到康托尔对其进行了研究并有所发现。
康托尔在研究两个不同级数何时会收敛于同一值的过程中将集合论发展为独立的学科。
数的本质问题：数分两种，一种是序数，一种是基数，分别用作计数和排序，他们都与自然数息息相关。可以表示成分数的数的集合是有理数集——由除法运算导出有理数集；小数表示没有循环的数称为无理数；可作为代数方程根的数称为代数数——由代数运算导出的数类；“π不可能是任何代数方程的根，这样的数则被称为超越数”。
分数（即有理数）可以喝自然数一一对应；偶数或奇数也可以和自然数一一对应。
康托尔得出结论“无限集将与它的一个子集具有相同的元素数目”，并发展了一种能应用于无限集的关于数的理论。
实数集无法与自然数建立一一对应的关系，所以无限集至少有两种大小——集合的大小称为基数。无限集的基数称为超限数——对照极限理解。
实数中存在超越数，因为代数数可以与自然数一一对应而实数不可以。
著名的连续统假设：自然数集的基数记为阿列夫零，实数集的基数为C，在阿列夫零和C之间没有别的基数！阿列夫零与C均为超限基数。
为了定位无限集中的序数，康托尔发展了概念超限序数，记为欧米伽。
自然数的自然排序称为第一数类；自然数的不同序列排序（比如排完奇数之后再排偶数，而偶数的第一位的序数就是第欧米伽项）称为第二数类。
康托尔对数学的另一大贡献是对角线方法，用于构造不同于已有集合的新集合。
康托尔因相信，在超限之外还存在着一个绝对的无限，它仅靠人类的理解力是永远无法完全企及的
——他很自信、自傲，似乎在宣称：我已走到了无限的终点；他很无奈，无法解决集合悖论。
(收起)
