《陶哲轩教你学数学》习题6.7求解

习题6.7：两个人玩一个游戏，他们的道具是由180个小块组成的一个3*6*10的立体巧克力。第一个人沿着划分小块的浅槽掰下一部分巧克力，并把掰下的部分丢掉（或吃掉）。接下来，第二个人按照同样的方法从剩下的巧克力中掰下一部分，然后丢掉。游戏就这样持续进行下去，直到剩下最后一小块巧克力为止。能把最后一小块巧克力留给对方的那个人就是游戏的赢家（即最后一个掰巧克力的人）。请问哪个人有完美的获胜策略？
解答：观察三维向量(3, 6, 10)，可以发现当面对其中一个维度为1，或面对其中两个维度值相等的情况下，面对该情况的选手有必胜策略。也即，当选手面对(1, m, n)或(k, n, n)的情况时（m, n, k均为正整数），他可以很轻松地将局面转换至(1, n, n)的情况，之后就可以遵循书中问题3的策略而达到必胜了。
若要让对方掰下巧克力后留给自己的必为(1, m, n)或(k, n, n)，则自己留给对方掰的巧克力立方体必为(2, 3, 4)。
为了能成功留给对方向量(2, 3, 4)，则只有当对方掰下巧克力后剩下(2, 3, x)或(2, 4, x)或(3, 4, x)时才能做到（其中x为正整数）。
考察下一个未出现的数字5，可以发现若自己掰下巧克力后剩向量(2, 5, 6)给对方，则对方必败：对方要么将巧克力掰成(1, m, n)或(k, n, n)的情况，要么掰下巧克力后会剩下(2, 3, x)或(2, 4, x)或(3, 4, x)。
考察下一个未出现的数字7，可以发现若自己掰下巧克力后剩向量(3, 5, 7)给对方，则对方必败：对方要么将巧克力掰成(1, m, n)或(k, n, n)的情况，要么掰下巧克力后会剩下(2, 3, x)或(3, 4, x)或令自己有机会掰成(2, 5, 6)。
考察下一个未出现的数字8，可以发现若自己掰下巧克力后剩向量(3, 6, 8)给对方，则对方必败：对方要么将巧克力掰成(1, m, n)或(k, n, n)的情况，要么掰下巧克力后会剩下(2, 3, x)或(3, 4, x)或令自己有机会掰成(2, 5, 6)或(3, 5, 7)。
至此，答案已经浮现：先手有必胜策略，只需将(3, 6, 10)的巧克力立方体掰成(3, 6, 8)给对方即可。