对当方阵，艰难的量化语句符号化（逻辑小知识056）

对当方阵，艰难的量化语句符号化（逻辑小知识056）
对于量化语句，最著名的应当就是“对当方阵 the square of opposition”。
在《逻辑新引》中，列出了两种对当方阵，一种是传统逻辑对当方阵，一种是现代逻辑对当方阵，分别如下图：
（一）传统逻辑对当方阵
（二）现代逻辑对当方阵
这两种对当方阵，我们从上述图示上可以看出差别：
第一，传统的 A 与 E，现代的 A！与　E！；
第二，传统的矛盾关系与现代的反对关系；
第三， A 与 E 的大反对，与 A！与 E！的反对；
第四， I 与 O 的小反对，与 I 与 O 的独立。
第一个差别的原因，在于“存在性导入 Existential Import”。也就是说，由于现代逻辑允许空集的存在，因此在对当方阵中，必须特别注明 A 与 E 导入了存在性。即不能是空集，分别以 A！与 E！表示；
第二个差别的原因，原本“矛盾 traditional”与“反对 contrariety”基本是同义词，根据奥卡姆剃刀原理，不增加新概念；
第三个差别，大反对与小反对的关系，都是其他不变，肯定与否定互换。但是，大反对针对全称量词，即“所有都是”与“所有都不是”。而小反对是针对存在量词“有的是”与“有的不是”。很显然，用“有的不是”来否定“有的是”，并没有完全绝对的反对，因此叫小反对；
第四个差别，小反对与独立，小反对看上去是其他不变，肯定与否定互换，其实互相并没有反对，因此，在现代逻辑中干脆称为独立，以防止误解。从意义上来理解，此二者也确实是独立，因为“有的是”如果为“真”，对于“有的不是”是否为真，毫无影响，反之亦然。
有意思的是，现代逻辑发展到现在，（在此需要提醒大家的是《逻辑新引》成书于1956年），对当方阵放弃了“存在性导入”的特别说明。如下图：
由上图可以看出，现代逻辑的对当方阵很简单，只保留了两个斜对角的矛盾关系：
（一）所有的狗都有跳蚤（左上）；矛盾句，并非所有的狗都有跳蚤（右下；
（二）并非有的狗没有跳蚤（左上）；矛盾句，有的狗没有跳蚤（右下）；
（三）没有狗有跳蚤（右上）；矛盾句，并非没有狗有跳蚤（左下）；
（四）并非有些狗有跳蚤（右上）；矛盾句，有些狗有跳蚤（左下）。
同时，每一个全称量词语句，都可以用存在量词语句表示，也就是说恰当的全称量词语句与存在量词语句等价。换句话说，全称量词与存在量词的符号表示有冗余。如下：
（一）左上：所有的狗都有跳蚤 = 并非有些狗没有跳蚤；
（二）右上：没有狗有跳蚤 = 并非有些狗有跳蚤；
（三）左下：有些狗有跳蚤 = 并非没有狗有跳蚤；
（四）右下：有些狗没有跳蚤 = 并非所有的狗都有跳蚤。
现代逻辑的对当方阵的作用已经退化，不再由方阵本身来证明论证有效性，而是通过运用语句逻辑中的有效论证规则结合谓词逻辑形式来证明。因此，谓词逻辑符号化的准确性变得非常重要。更令人沮丧的是，量化语句符号化经常会出现错误，以下就是一些常见的容易弄错的语句：
（一）A barking dog never bites. 一只会叫的狗不会咬人。
(x)[(Dx ⋅ Bx) ⊃ ∼ Ix]
（二）A barking dog is in the road. 一只会叫的狗挡在路上。
(∃x)[(Dx ⋅ Bx) ⋅ Rx]
（三） Anyone is welcome to enroll. 欢迎任何人应征入伍。
(x)(Px ⊃ Wx)
4. There is not anyone here. 这里没有任何人。
∼ (∃x)(Px ⋅ Hx)
同样是“一只”，在（一）语句表示全称；在（二）里表示存在；
同样是“任何”，在（三）时表示全称；在（四）里却表示存在。
由此可见，并不存在如何符号化这些语句的一般法则。
还有“和”与“或”的问题。比如：
所有妇女和儿童都免服兵役。这里的实际意思，是所有的“妇女或儿童”；
这里的问题在于自然语言的“和”，与合取符号“·”的含义并不完全等价。在合取语句中，“和”是指同时具备两种属性，很显然，一个人有可能是妇女但不是儿童，因此用合取语句的符号“·”来符号化，当然不对。
不过，幸运的是，逻辑学家还是帮我们总结了一些可以参考的符号化思路：
以“Some shifty-eyed lawyers are actually hard-working and honest.” 为例。（译文：有的眼神诡诈的律师实际上是勤勉且诚信的。 Sx=“ x shifty-eyed ”(眼神诡诈）
Lx=“ x is lawers”(律师）
Wx=“ x is hard-working”(勤勉）
Hx=“ x is honest”(诚信）
首先，决定主语。即这句话是关于谁的。
很显然，主语是律师，即 Lx 。
其次，确定主语的定语。即修饰主语的词。
定语是眼神诡诈，即 Sx 。
其三，确定量词。
在这里，就是“有的”，即存在量词，(∃x)。
其四，确定宾语，或者说谓词组合。
在这一句中，是勤勉且诚信，即 Wx 和 Hx，由于是同时具备这两种属性，因此应该使用合取符号联结，即 Wx·Hx 。
最后，将这些符号合成一个语句符号：
(∃x)[(Lx ⋅ Sx) ⋅ (Hx ⋅ Wx)]
给大家出个习题：“Not all infomercials are about hair loss or psychic predictions.”（译文：并非所有的导购都是关于秃顶或算命的。）