第八章复习及关键术语（逻辑小知识061）

第八章复习及关键术语（逻辑小知识061）
【复习】
第八章的标题为《谓词逻辑语义学》。
语义学，Semantics，是指形式系统的语义学，涵盖与系统组成要素之意义或真假有关方面。
语义学是与语形学 Syntax 相对应的。
对于语句逻辑来说，语义学概念如下：
——一个语句是重言语句，当且仅当其语句形式在每一个解释中均为真。
——一个论证是有效的，当且仅当不存在对其论证形式的解释，使得所有的前提为真，而结论为假。
——一组语句是相容的，当且仅当存在所有语句均为真的解释。
而语形学概念如下：
——一个语句即一个定理，当且仅当它可以在没有任何前提的情况下被证明。
——当且仅当可以从前提构造结论的证明时，论证才是有效的。
——一组语句是相容的，当且仅当不能从它们之中证明矛盾。
换句话说，从语义学角度，我们需要根据语句本身所蕴涵的上下文意义，来判断语句的真假，即给语句赋值（ Valuation ），即赋予“真”或“假”的真值。
要赋值，当然就需要判断真假，而判断真假，离不开解释（ interpretation ）。这里的解释，是指每一种真值情况。
关键问题在于，谓词逻辑的解释有一点复杂。
首先，需要考虑论域问题；
其次，需要考虑个体常量与论域中个体一一对应问题；
其三，还需要考虑个体属性的可识别问题。
也就是说，我们对于谓词逻辑的每一条解释，都应该具备判断真假或者说赋值的所有信息。
所以，一般来说，会有一个解释模式。
首先，论域非常窄，最好是只有两个元素；
其次，最好是用数学解释；
其三，运用展开式，可以轻松赋值。
但需要记住一点，语义学解释可以证明谓词逻辑的论证无效，但不能证明有效。因为在证明有效时，你永远不知道是不是有一只黑天鹅在远处等着你。
当然，语义学还有等价和相容性的内容，大概也与有效性或无效性差不多。
总之，通过语义学来证明一个论证的有效性，非常麻烦，后面的章节，会介绍证明体系和真值树体系，那是从语形学的角度来证明谓词逻辑论证有效性的。
【关键术语】
consistent: A sentence or group of sentences is consistent in predicate logic if and only if there is an interpretation in which the sentences are all true.
相容：一个语句或一组语句在谓词逻辑中是相容的，当且仅当存在一个解释，使得所有语句都为真。
extensional interpretation of a predicate: The extension is the class of entities that have the predicate. 
谓词的外延解释：外延是具有谓词的实体类别。
intensional interpretation of a predicate: The natural language meaning of the predicate, rather than a class of the things that have it. We know, for example, what “is an elephant” means even if we do not have a list of the things that are elephants.
谓词的内涵解释：谓词的自然语言意义，而不是具有谓词的一类事物。例如，即使我们没有那些“是大象”物体的列表，我们也知道“是大象”是什么意思。
interpretation: To provide a complete interpretation for a sentence or group of sentences in predicate logic, we must specify
• A domain
• An assignment for each individual constant
• The extension of each predicate constant (a list of the individuals in the domain that have the property in question). However, for some purposes, the intensional interpretation will serve.
We must also specify a truth-value for any atomic sentential logic sentences if any are present, and for any quantified statements that are present. In other words, an interpretation provides all the information needed to determine the sentences’ truth-value.
解释：要为谓词逻辑中的一个语句或一组语句提供完整的解释，我们必须指定
• 一个域
• 分配给每个个体常量
• 每个谓词常量的外延（域中拥有相关属性的个体列表）。然而，对于某些目的，内涵解释将起作用。
我们还必须为任何存在的原子语句逻辑的语句以及任何存在的量化语句指定真值。换句话说，解释提供了确定语句真值所需的所有信息。
logically equivalent: Two predicate logic sentences are logically equivalent if and only if there is no interpretation in which they have different truth-values.
逻辑等价：两个谓词逻辑语句在逻辑上是等价的，当且仅当它们没有具有不同真值的解释。
valid: A predicate logic argument is valid if and only if there is no interpretation in which the premises are all true and the conclusion false.
有效：谓词逻辑论证有效，当且仅当不存在前提全部为真而结论为假的解释。