集合论和二阶谓词逻辑（逻辑小知识097）

集合论和二阶谓词逻辑（逻辑小知识097） 
请注意，我们没有讲到任何有关集合自身的重要性。也就是说，我们还没有着手开发一套现行集合论。鉴于此，让我们回到二阶逻辑。回顾一下，在二阶逻辑中我们可以对谓词进行量化。这为我们提供了像(∃F)(x)Fx这样的公式。在一般意义上，这意味着域的每个元素都具有某些属性。推而广之，即有一个与该域相同的集合，这是一种相当通俗说法。考虑另一个语句，例如(G)(∃F)[(x)(Fx ⊃Gx)]。直观地说，这是说对于每一个属性G，都有一些其他的属性F，使得所有具有属性F的东西都具有属性G。往大里说，这是说每个集合都有一个子集，这是真的，因为每个集合都是它自己的子集。(一个简单的旁证：除了一个，其他每个集合都有一个真子集，因为空集是每个集合的一个子集。(只有空集本身没有真子集）。
在这两个例子中，我们通过量化集合来描述这些陈述的特征。也就是说，我们使用“有一个集合……（there is a set…）”和“每个集合……（every set…）”这样的语言。正是通过对集合的量化，我们可以对集合本身提出一般性断言。这为我们提供了实行集合理论的手段。通过量化集合，我们可以定义除∈以外的任何符号（隶属度（membership）被认为是原始的，或未定义的）。例如，我们现在可以提供一个“真子集”的纯形式化的特征：
(x)(y){(x⊂y)≡[(x⊆y)⋅∼(y⊆x)]}
在二十世纪之交，德国工作的数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）发展了第一个集合的系统方法，恩斯特-泽梅洛（Ernst Zermelo）发展了第一个集合公理系统。随后的理论通常包括一套直观明显的公理，以及从这些公理产生进一步定理的方法。在这里，我们将考虑一些倾向于填充这些理论的公理以及它们的一些哲学含义。
让我们从“外延公理”开始：
如果集合A和B有全部相同的元素，且只有相同的元素，那么A=B。表达式如下：
(A)(B)(x)[(x∈A≡x∈B)⊃(A=B)]或者，
(A)(B){[(A⊆B)⋅(B⊆A)]⊃(A=B)}
从公理本身和我们的ID规则，我们可以推导出定理
(A)(B)(x)[(A＝B)⊃(x∈A≡x∈B)]
这个定理表示，如果A和B是同一个集合，那么它们的所有成员都相同。
外延公理确立了集合论的两个重要特征：
首先，集合论中的“集合”本身就是一个外延，而非一个外延客体。因此，从集合论的角度来看，"有心脏的生物体的集合 "与 "有肾脏的生物体的集合 "是同一个集合。
第二，一个集合中元素与其顺序无关。事实上，这是一个呈现的问题，而不是构成的问题。对于集合{1,2}和{2,1}，当且仅当x是第二个集合的元素时，x是第一个集合的元素，所以{1,2}={2,1}是真的。但是，我们当然经常希望能够以特定的顺序处理这些元素——整数的使用很好地说明了这一点。为此，我们需要另一种类型的对象。在这种情况下，我们希望得到的是一个有序对偶，尽管我们可以关注有序三元组，四元组，等等等等。我们将像第一个元素是 x，第二个元素是 y 这样来书写指定的有序对偶。事实证明，我们可以用集合的方式来定义有序对偶。在集合的情况下，{{x},{x,y}}，或者说由两个集合组成的集合，其中一个集合的唯一元素是x，另一个集合的元素是x和y。要完全证明其有效性，需要比我们在这里介绍的更多工具。然而，这样想可能会有帮助：{{x},{x,y}}的所有真子集都包含它所定义的有序对偶的一个元素，以及它之前的所有元素。所以{{x},{x,y}}的真子集不包括空集（我们这样做只是为了方便）是{x}和{x,y}。{x}包含有序对偶中的一个元素和它之前的所有元素，也就是说，没有。{x,y}同时包含x和y。因此，如果它要包含有序对中的一个元素和它之前的元素，那么要么x必须在y之前，要么y必须在x之前。但正如我们刚才所说，x之前没有任何东西，所以（通过直接对偶）x必须在y之前。
最重要的是，通过对元素的排序，集合理论可以捕捉到关系理论中直观的东西。正如像Fx这样的一元谓词的外延是所有属于F的事物的集合，二元关系谓词 Fxy 的外延是所有有序对的集合，即第一个元素与第二个元素之间存在着F的关系。注意，我们不能把 Fxy 的外延当作一个集合的集合。比方说，Fxy = x 是 y 的父亲，Bob是Mary的父亲。Fxy的外延不能包括{Bob, Mary}，因为{Bob, Mary}={Mary, Bob}，而Mary不是Bob的父亲，并不是同一个有序对。在目前的解释下，只有前者在Fxy的外延中。