关于导数三大规则的思考（数学学习 022）

关于导数三大规则的思考（数学学习 022）
01
对于连锁规则（ chain rules），我们现在也可以用 f(x)=(x2)3 来验证。
我们知道，这其实就是 f(x)=x6 ，针对 x 求导， f'(x)=6x5 。
首先，我们可以令 g(x)=x2，则 f(g(x)=(x2)3  。 
f'(g(x)=3(x2)2·2x
        =6x5
其次，我们也可以令 g(x)=(x2)3   ，则 f(g(x)=(x6)1
f'(g(x)=6x5·1
        =6x5
其三，我们也可以令 g(x)=x ，则 f(g(x)=(x1)6 ，同样，导数也是6x5 。
根据上述三个例子，我们可以看出，这个 g(x) 的选择可以是随机的，我们可以任意选择其层次，其导数不会发生变化。
而在我们的课本上的说法，把 M(x))=(x2)3  称为“复合函数 composition of functions ”。即 h(x)=x3 ， g(x)=x2 ，而 M(x)=h(g(x)) 即为复合函数。
实质上，不存在什么“复合函数”，因为我们可以把一个复合函数等价于不同的复合函数，即上面三个例子所揭示的。我们可以不考虑复合函数，而直接根据 M(x))=(x2)3  求导。
我们根据 M(x))=(x2)3  可知， x 的变化首先决定了 x2 的变化，而 x2 的变化又决定了 (x2)3  的变化。
我们先看 x 变化如何决定 x2 的变化，即对 x2 求导，结果为 2x ；
再看 x2 的变化如何决定  (x2)3  的变化，即求 (x2)3  对于 x2 的导数，结果是 
3(x2)2 。
那么， x 的变化，导致  (x2)3  的变化，肯定是二者相乘，即  3(x2)2 · 2x ，即 6x5 。
02
导数的三大规则（也被称为“法则”）：连锁规则（ Chain Rules）、相加规则（ Sum Rules）与乘积规则（ Product  Rules ）。与 幂规则（ Power Rules ）意义并不完全相同。
相加规则（相加法则）、乘积规则（乘积法则）与连锁规则（链式法则），是一种将复杂问题简单化的工具。
比如，我们在对 xn 求导时，使用的是定义，即从 ((x+t)n - xn)/t 这个定义入手，分析得出的 nxn-1 。但我们也可以使用乘积规则，更简单。即
f(x)=x·x·x·x……x （ n 个 x )
根据乘积规则：
f'(x)=x'xn-1 + x'xn-1 +……+ x'xn-1（共 n 项）
     = nxn-1
当然，这是在 n 为正整数的情况下。
这三大规则，当我们发现某一个复杂函数可以看作是两个简单函数相加的时候，就利用相加规则；当我们发现某一复杂函数可以看作是两个简单函数相乘的时候，就利用乘积规则；而当我们发现某复杂函数可以看成是一个函数是另一个函数变量的时候，就可以使用连锁规则。
这又符合之前所说的数学家解决问题的方法，最好的办法是否定问题本身，其次是遇到问题绕着走，争取走到我们熟悉的老路上去，这也叫“路径依赖”。
最后，在这个解决问题的过程中，我们也会发现一些工具，这些工具又成了我们新的路径。比如上述幂函数的求导，在发现了乘积规则这个工具之后，我们又可以不走之前按定义出发的老路了。
03
我们来看看在第三章学到了什么。
1. 在将幂（ Power ）的思想从无意义的缩写扩展为有意义的思想时，我们发现自己无意中创造了一堆不同的机器（函数）。比如负数幂（x-n），分数幂( xm/n)，以及零次幂( x0 )。
2. 我们不知道如何对这些机器（函数）求导，但是根据我们发明幂的方式，
我们知道如何将它们与更简单的机器（函数）关联起来。例如：
3. 将这些让人迷惑的新机器（函数）与更简单熟悉的机器（函数）关联起来让我们可以“诱骗数学”告诉我们这些新机器（函数）的导数是什么。
4. 在求这些新机器的导数的过程中，我们发明了几个锤子（法则）：相加锤
子（ Sum Rules）、相乘锤子（ Product Rules）和重新缩写锤子（ Chain Rules ）。这些锤子(法则)让我们可以将难题拆散为更简单的问题。
5. 让作者吃惊的是，这一章的中间发生了让人意外的对话，我们认识了新朋友。这最终也许会对这本书余下的部分有影响。我不知道前面的部分是不是还安全。
这是什么意思呢？
意思是说，我们发现发明出来的一些简单概念，经过扩展为思想之后，这些数学概念会有自己的思想与生命力，迫使你不断地发现新的规则或规律。
6. 老实说：上面这条有点吓到我了。