条件独立

通用汽车有一个品牌叫庞蒂亚克，相关部门曾经收到某个顾客的邮件投诉，顾客的这封信如下。
这是我第二次写信给你，我不怪你不回复我，因为我知道这听起来很疯狂，但它是一个事实。我家有个传统：晚饭后去吃冰激凌，每天晚上我们都开车去买不同口味的冰激凌。我保证我说的都是真实的，我最近购买了一辆庞蒂亚克，但是去买冰激凌时我发现了一个问题：每当我买香草冰激凌，汽车都不启动，但如果我买其他口味的冰激凌，汽车就会很好地启动。我非常严肃地看待这事，不管你觉得我有多愚蠢，我都想知道，为什么庞蒂亚克每次遇到香草冰激凌都无法启动？
汽车公司的经理虽然很怀疑事情的真实性，但还是派了一位工程师调查这个问题。工程师和车主见了面， 约定一起去买香草冰激凌，他们到了商店，买完冰激凌，发现车真的不启动了。
工程师尽量还原场景，并连着三天晚上开车去买冰激凌。
第一晚，买巧克力味的，车启动了。
第二晚，买草莓味的，车启动了。
第三晚，买香草味的，车不启动。
这到底是怎么回事？
这位工程师非常细心，在这几次和顾客一起买冰激凌的过程中，他详细地记录了过程中的每一个细节，并分析了这些细节，希望找出买香草冰激凌的过程和买其他口味冰激凌的过程中所有的不同之处。
真相果然隐藏在细节里，工程师发现，买香草冰激凌所用的时间远比买其他口味的要短。
香草冰激凌卖得最好，它被放在商店离门口很近的地方，不需要找，直接拿起来付账即可。而其他口味的冰激凌被放在商店较靠后的位置，多种口味混合放在一起，要走到相应位置还要翻找想要的口味，所花时间明显比买香草冰激凌更长。
购买时间又和车的启动有什么关系？工程师对这个顾客的汽车进行检查，发现了“气阻”的问题。气阻通常在发动机较热时出现，如果汽车的供油系统中出现气阻，引擎吸燃料时燃料的供应会变得断断续续，汽车会因此无法启动或者在行进时熄火。
这位顾客购买的庞蒂亚克汽车就有气阻的问题。购买其他口味冰激凌花费的时间足以让引擎冷却从而让车顺利启动，而当顾客购买香草冰激凌时，时间短，引擎太热，气阻无法及时消失，汽车因此无法启动。
条件独立和条件概率有关。我先介绍什么是条件概率。条件概率通常写成P(A|C)的形式，即在事件C发生的情况下，事件A发生的概率。
如果事件A和事件B关于事件C条件独立，那么在知道事件C发生的前提下，知道事件A发生并不能帮助我们更好地推断事件B发生的概率。
P(A|B,C)=P(A|C)
这个公式告诉我们，如果事件A和事件B关于事件C条件独立，那么在知道事件C发生的前提下，知道事件B发生并不能帮助我们更好地推断事件A发生的概率。
总结一下，如果事件A和事件B关于事件C条件独立，那么在知道事件C发生的前提下，知道事件A或事件B中的一个是否发生，并不能帮助我们更好地推断出另外一个事件发生的概率。
也就是说，在“购买时间短”这个事件发生的前提下，知道“购买香草冰激凌”并不能帮助我们更好地推断“车启动不了”的概率。“车启动不了”和“购买香草冰激凌”关于“购买时间短”条件独立。
从统计意义上来说，事件A（“购买香草冰激凌”）和事件B（“车启动不了”）看似有关系（每次购买香草冰激凌时车都启动不了），但是中间隔了一个事件C（“购买时间短”）。在这种结构下，事件A和事件B在事件C发生的情况下条件独立。
两个事件看似相关，实则关于另外一个事件条件独立的情况非常普遍。如果意识不到这一点，就很容易犯把“相关性”当成“因果性”的错误。
心理学上有一个类似的理论，就是情绪ABC理论。这是美国心理学家阿尔伯特·艾利斯（Albert Ellis）提出的一种情绪调节法。这里的A代表激发事件（Activating event），B代表信念（Belief），C代表结果（Consequence）。
情绪ABC理论告诉我们，激发事件A是引发情绪和结果C的间接原因，而引起结果C的直接原因则是个体基于对激发事件A的认知和评价所产生的信念B。
比如，同样是失恋了，有的人会开解自己，认为这未必不是一件好事；有的人却伤心欲绝，认为自己今生可能都不会去爱了。再比如，在找工作时面试失败后，有的人可能会认为这次面试只是一次尝试，不成功也没关系，下次再来；有的人则可能会想，自己精心准备了那么久，竟然没通过，是不是太笨了，别人会怎么评价自己。即使激发事件A一样，但这两类人的信念B不同，因此他们的情绪体验结果C也不同。
情绪ABC理论里，A引起了B，B引起了C。在这种关系中，只要知道了B，我们就可以比较准确地知道C。知道A到底是什么，并不能帮助我们很好地判断C的发生概率。从数学上来说，A和C关于B条件独立（见图7-5）。
古罗马斯多葛学派哲学家爱比克泰德（Epictetus）曾说：“人并不是被事物本身影响，而是被他们自己对事物的看法左右。”