线元/几何/第14页

对于欧氏几何，人们关心曲线的长度、两点之间的距离、两直线之间的夹角等等。这些几何性质都由欧氏线元决定：曲线的长度定义为线元dl²的开方根dl的积分；两点之间的距离定义为两点之间的最短曲线的长度（因而也取决于线元）；两直线之间的夹角定义为弧长与半径长之比（归根结底还是由线元决定）。事实上，欧氏几何的所有内容都由欧氏线元决定，简言之就是线元决定几何。这一结论对非欧几何也成立。指定一个与欧氏线元不同的线元就定义了一种非欧几何。线元的改变起着“牵一发而动全身”的作用。