随笔

p2 “技能教育，接受得再多，也不过是从一种工匠变成多种工匠…更有效的提高综合素质的方法，是接受通识教育。” 原本我认为专精比万金油好。
p4 “在古希腊，是否接受过通识教育，是区别自由民和奴隶的依据。” 我们不就是古希腊的奴隶吗！
p6 “十类核心学科：数学；逻辑学；语文、文学和写作；文明史；自然科学；经济、金融、管理和投资；信息科学；人文地理；音乐和艺术；政治学、哲学和军事。”
p9“如果有外星高等文明想和人类进行交流，最方便的语言是数学。”
p12“微积分可以让人对世界、对变化、对规律的理解，从静态的、孤立的和具体的层面，上升到动态的、连续的和规律性的层面。”
p14“人类对数字这个概念的认识历程，体现了人类在思维工具上的进步—从具体到抽象、再到完全的想象…如果我们放弃掉教授学生具体技能这个目的，而是让他们通过认识数字从自然数到负数、从整数到有理数、从有理数到实数、从实数到复数，最后从有限的数到无限的数这一个发展历程，理解数学作为工具的作用，了解人类的认识从具体到抽象、从有限到无限的过程，就更容易掌握数学方法的精髓了。”
p15“人类在搭建几何学大厦时，先是有了一些直观认识，然后从一些例子中总结出一个被称为引理的简单规律，引理的扩展可能会导致定理的出现。定理会有自然的推论，最后无论是定理还是推论，都会有实际的应用。”
p16“对于微积分，两个思考工具：一个是从静态积累到动态变化，另一个是从动态变化到静态积累。”
p24“一旦被说出，就意味着对于任何情况都适用，不能有例外，非常绝对，称为命题。...命题不等于定理。绝大部分命题没有太大意义。...极少数描述数学本质规律的命题才是有意义的，从它们出发可以推导出很多有意义的结论，但在它们没有被证明前，只能算是猜想。最后有用的猜想从逻辑上被证明了，才能成为定理。”
p25-“学习和研究数学的思维方式和采用的方法，和自然科学完全不同：1.测量和逻辑推理的区别——自然科学可以基于测量和观察得到量化的结论，但数学上，观察的结果只能给我们启发，数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑，通过严格证明得到，不能靠经验总结出来；2.事实证实和逻辑证明的区别——自然科学的定律和理论，尽管被实验证实了，但其实实验的置信度不可能是100%，都存在一个很小的被推翻的可能性。数学，决不允许用实验来验证一个假说（数学上被称为猜想）正确与否。数学的结论只能从逻辑出发，通过归纳或演绎得来；3.科学结论相对性和数学结论决定性的区别。”
定律是law，意思是一般性的规律，定理是theorem，是严格证明、没有例外的规律。
p45 “黄金分割的大致比例为1：0.618（或1.618：1）。由x/y=y/(x-y)推出的，x/y约等于1.618。"
p62 黄金分割的性质——（1-0.618)/0.618=0.618。第一个和第二个黄金分割点是对称的。
p73 斐波那契数列的增长相对数列，即F(n+1)/Fn，趋近于1.618
p93 等额本金偿付，每个月还的本金数相同。
p112 数学有别于人类所构建的所有其他的知识体系，它是唯一一个具有绝对正确结论的学科absolute truth，因为数学是建立在公理和逻辑基础上的，只要自洽就是正确的。其他知识体系，无论是物理学、化学和生物学，还是医学、历史学、社会学和经济学，都是对宇宙中物质的规律和人类社会规律进行描述，如果其中的一些描述不符合真正的规律或新发现的现象，那就被证明是错的。因此在这学科中的结论，都是有条件正确的contingent truth。
p139 人类认识数的过程：自然数、整数、有理数、实数、复数。
P154 无穷小和无穷大一样，并非是一个具体的数，而是一种趋势，一种不断地趋近于零的趋势。
p158当Δt趋近于零时，时间（横轴）和位移（纵轴）关系曲线在t0点切线的斜率，就是t0的瞬时速度。速度是位移的导数。加速度是速度的导数。导数概念的提出，使得人类能够从掌握平均规律，进入掌握瞬间规律，从对变化本身的观察，上升为对变化速度的观察。
p168 极限的定义，用了逆向思维，即我们不说函数值和极限值多接近，而是让质疑者提出它们认定的任意小的范围 ε ，根据 ε 倒推一个区间Δ，在这个区间内，函数值跑不出极限值± ε 的范围。无穷小是一种特殊的极限。（有点不懂为什么设置成ε/2 ？为了以后的计算？）
P171 静态地看待无穷大或无穷小，是一样的，但从无穷大是一种动态趋势的角度考虑，有变化快和变化慢的区别，也就应该有不同的无穷大。
p173 不同阶数的无穷小（从高到低）：1/（e的1/x次幂）、x三次方、x平方、（x、sinx、tanx)、x平方根、1/(ln1/x)。不同阶数的无穷大：e的x次幂、x的n次方、x、x平方根、loga x。
p179 0.999999...=1，而不仅仅是趋近于1。
p190 在苏美尔人统治时期，他们发现每个月看到的星空会有1/12的差异，于是把天空分成12份，每一份用一个有代表性的星座来代表，这就是12星座的由来。由于1个月大约有30天，后来的古巴比伦人就把一年看到的天空分成360份（12*30），每一份就是一度角的由来。
P159 几何学5条一般性公理（一般性概念）：1.如果a=b,b=c,那么a=c；2.如果a=b,c=d,那么a+c=b+d；3.如果a=b,c=d,那么a-c=b-d；4.彼此能重合的物体（图形）是全等的；5.整体大于部分。
5条几何学公理（公设）：1.由任意一点到另外任意一点可以画直线（直线公理）；2.一条有限直线可以继续延长；3.以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；4.凡直角都彼此相等（垂直公理）；5.过直线外的一点，有一条并仅有一条该直线的平行线（平行公理）。
p256 72定律，假如每年投资汇报是R%，基本上经过72/R年，财富就可以翻一番。
p257 相关性不代表因果关系中的必然性。
p276 余弦定理 cosC=(a²+b²-c²)/2ab=<a,b>/‖a‖*‖b‖。因此可通过余弦定理计算向量的夹角，判断相关性。
P290 矩阵相乘，是由左边矩阵的行向量和右边矩阵的列向量相乘。M*N的矩阵，和一个N*K的矩阵相乘，结果是一个M*K的矩阵。
P295 向量和矩阵是线性代数的两种工具。为什么叫线性代数，可由由矩阵和向量相乘的过程得知。左边矩阵的数字可被看作一组常数系数，右边竖着的向量中的数是未知数变量，而这样矩阵和向量的乘法就变成一组线性方程。
当P303 导数的本质，是对原函数变化快慢的规律性的描述。
P307 对比一般性的函数y=f(x)，用dx表示自变量趋于零，用dy表示函数的微分。f'(x)=dy/dx。
当圆柱体比较扁平时，半径增加一个单位，体积增加不如高度增加一个单位的增幅明显。
P312 一件事有很多变量时，利用梯度，即函数相对不同变量的偏导数形成的向量，找到能取得最显著进步的方向。
P313 如果一个函数，当变量x的增量Δx趋近于零时，函数y的增量Δy也趋近于零，就说这个函数是连续的。 如果一条曲线在某一点处是连续的，光滑的，该曲线在这个点就可导。所谓光滑，是指从某一点的左边和右边分别做切线，这两条切线是相同的。
P320 导数反映一个函数变化的快慢，微分反应函数在某个位置变化的具体数值。
P324 给定一个曲线，求它下方到x轴之间的面积，就是积分。微分和积分互为逆运算。
积分符号其实就是求和这个单词Sum中拉长的S，因此可理解为对无穷多个小长方形求和。
P330 积分的滞后效应：凡是需要通过积分获得的数量，它的结果会滞后于瞬间变化，有时还要经过相当长的时间滞后才能看到；这种由积分获得的数量，一旦大到被大家观察到后，要逆转这个趋势就非常难。
P332 能力是努力的积分，成绩是能力的积分，好形象是成绩的积分。
P339 寻找一个函数f(x)的最大值，可变成寻找该函数的导数f'(x)为零时的问题。但有漏洞，例如立方函数（需判断导数等于0附近，导数是否正负变化），还有多个极大值时（需手动比较）。
P340 一个函数可以有多个极大值，但是只能有一个最大值。
P358 如果一个函数的黎曼积分（垂直划分的）存在，那么勒贝格积分一定存在，但是反过来却不一定，狄利克雷函数就是一个例子。
P375 伯努利试验里，事件A发生的概率为p，进行N次试验后，恰好发生k次，这个概率P=[N!/k!(N-k)!]*p^k*(1-p)^(N-k)。第一，k取不同值时的概率，在k=N*p附近达到最大；第二，如果N比较大，k在远离N*p之后，概率下降得很快，如果N比较小，概率下降得慢。
P376 “总体上讲”，在概率和统计中有一个专门得量化度量方式，被称为统计得置信度，“不太大”则可以用方差或者标准差来准确刻画。
P380 一个随机变量得概率分布曲线越平，方差越大，越向中间集中，方差越小。随机性越大，方差越大，反之亦然。标准差的好处在于可以直接和数学期望值做对比。
P381 对于二项式分布，它就是把伯努利试验重复N次的概率分布，它平均发生的次数，也就是发生次数的期望值则是N*p，方差 σ² =Np(1-p)。标准差和均值的比值表明：1.找到规律，降低随机性的影响，最直接的办法就是增加试验的次数。只有数据量大，得到的才是规律性，而不是巧合。2.越是小概率的事件，发生的可能性越难以预测。 凡事留够余量。
P385 利用“小概率”的特点，设计出最佳的资源共享方案，大幅度降低成本。对于需要确保发生的大概率时间，则需消除不确定性，保证成功的同时有效地控制成本。
P386 用泊松分布来理解小概率时间。在伯努利试验中，如果随机事件A发生的概率通常很小，但是试验的次数N很大，可称为泊松分布。
p(X=k)=e^( λ )*( λ )^k/k!   λ=np   k为=n*p时，是峰值。?池子=n*？
P394 正态分布(Normal distribution)，也叫常态分布，高斯分布。【网页搜索：若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为 σ² 的正态分布，记为N(μ，  σ²  )。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。】
P398 如果两个班平均分的差异很大，或者各自概率分布的标准差很小，就有更大信心（置信度）说谁比谁好。 在现实中，增加试验次数或者增加具有同样分布的样本数量，是降低标准差找到规律性最常用的方法。
P399 在应用中，为了便于核实随机性（体现在标准差 σ上）结果对置信度的影响，通常把高斯分布标准差和置信度的关系总结成 3σ原则：1.有34.1%+34.1%约68%的可能性，动态范围不超过平均值±σ；2.有13.6%+34.1%+34.1%+13.6%约95%的可能性，动态范围不超过平均值±2σ；3.如果进一步扩大误差范围为±3σ，置信度提高到99.7%。
股票或者基金浮动的方差被称为它们的风险。
P410 基于概率论的三条公理，推导出定理一：互补事件的概率之和等于1。定理二：不可能事件的概率为0。
P419 对于一个随机事件A，没有任何限制条件一般意义上的概率P(A)，在条件B发生后才发生的条件概率P(A|B)，以及A与B一同出现的联合概率P(A,B)，P(A,B)=P(A|B)*P(B)，进而推出P(A)=P(A|B)*P(B)+=P(A|b)*P(b)