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离散傅立叶变换（DFT）与线性代数之间有着密切的关系。DFT 可以被视为线性代数中的矩阵运算。以下几点详细说明了它们之间的关系：
向量和矩阵表示：在线性代数中，向量和矩阵是核心概念。DFT 可以被表示为一个向量（信号样本）乘以一个矩阵（傅立叶变换矩阵）。这个矩阵的每一行代表不同频率的基。
线性变换：DFT 是一个线性变换。在线性代数中，线性变换通常由矩阵乘法表示。DFT 将时域信号（一个线性空间中的向量）映射到频域（另一个线性空间），这个过程可以用一个矩阵乘法来实现。
正交基和完备性：线性代数中的一个重要概念是基，尤其是正交基。在 DFT 中，正弦和余弦波形成了频域的一个正交基。这意味着任何信号都可以表示为这些基的线性组合，而且这种表示是唯一的。
内积和能量表示：在线性代数中，内积用于衡量向量之间的相似度。在 DFT 中，内积用于计算时间信号和各个正弦波之间的相关性，这决定了频域表示中的系数。
矩阵的特性：DFT 矩阵具有一些特殊的性质，如酉性（或者在实数情况下的正交性），这意味着它的逆矩阵等于它的共轭转置。这在线性代数中是一个重要的性质，因为它保证了变换的稳定性和可逆性。
信号处理中的应用：在信号处理中，DFT 的应用广泛，从简单的频率分析到更复杂的操作，如滤波和信号重建。这些操作在本质上是线性代数问题，涉及向量空间、基变换、矩阵运算等。
总之，离散傅立叶变换在数学上是线性代数的一个应用，利用矩阵和向量的概念来分析和处理信号。理解 DFT 和线性代数之间的关系有助于更深入地理解信号处理的原理和方法。