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从几何角度理解两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和，可以通过群作用的对称性和不变子空间的构造来实现。以下是一个详细的解释：
表示论中的几何视角
表示论的几何视角涉及理解表示空间的结构和群作用的几何特性。当我们考虑两个不可约表示的张量积时，几何上可以将其视作两个对称空间的交互作用。
不可约表示和张量积
假设我们有两个不可约表示 V1 和 V2，分别对应于紧李群 G 的表示。我们可以将它们的张量积表示为：
V1⊗V2
几何上，张量积表示的是两个向量空间的笛卡尔积，并且在这个空间上定义了新的群作用。
分解过程的几何理解
从几何角度来看，分解张量积表示涉及找到在张量积空间中不变的子空间，这些子空间分别对应于不可约表示。
1. 群作用的几何对称性
考虑 G 在 V1 和 V2 上的作用。几何上，群 G 的作用可以看作是对空间进行对称变换。张量积表示的分解过程实际上是在寻找在这些对称变换下不变的几何结构。
2. 不变子空间
在张量积空间 V1⊗V2中，我们寻找在 G 的作用下不变的子空间。几何上，这相当于寻找在某些对称性下保持不变的子空间或模式。这些不变子空间实际上是 G 的不可约表示。
3. 克莱布希-高登系数
克莱布希-高登系数给出了如何将张量积空间中的基矢量线性组合成这些不变子空间中的基矢量。几何上，这些系数描述了如何在两个表示的基矢量之间进行旋转和变换，以获得新的不可约表示的基矢量。
几何示例：SU(2) 的表示
1. SU(2) 表示的几何理解
SU(2) 是描述自旋的李群，其表示可以几何地理解为球面上的旋转。不可约表示 Vj 可以看作是在 (2j+1) 维空间中的表示，这个空间对应于具有自旋 j 的量子态。
2. 张量积表示的几何分解
考虑两个自旋 j1 和 j2 的粒子，其总自旋可以表示为张量积 Vj1⊗Vj2。几何上，这对应于两个球面上的旋转的组合。
根据量子力学中的角动量耦合规则，总自旋 J 可以取值从 ∣j1−j2∣ 到 j1+j2。这个过程几何上相当于将两个旋转合成为一个新的旋转，新的旋转可以在不同的维度上表示。
具体几何过程
构造张量积空间：将两个表示空间 Vj1 和 Vj2 的基矢量进行张量积，形成一个更大的表示空间 Vj1⊗Vj2。
寻找不变子空间：在张量积空间中，通过对称变换和组合，找到在 SU(2) 群作用下不变的子空间。这些不变子空间对应于新的不可约表示 VJ。
应用克莱布希-高登系数：使用克莱布希-高登系数将张量积空间中的基矢量组合成新的不可约表示的基矢量。这些系数几何上描述了如何从两个旋转的组合中生成新的旋转。
总结
从几何角度理解两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和，可以通过以下几点来实现：
群作用的几何对称性：理解群在表示空间上的对称作用。
寻找不变子空间：在张量积空间中寻找在群作用下不变的子空间。
克莱布希-高登系数：使用这些系数描述如何将基矢量线性组合成新的不可约表示的基矢量。
通过这种几何视角，我们可以更直观地理解表示论中的张量积分解过程以及量子态的角动量耦合。