第20章 无穷级数

1.引言
数学家门逐渐学会用分析式来研究一些初等函数。但对于复杂一些的函数和超越函数，只能展开成无穷级数逐项处理。但对级数的认识存在一些问题。

2.无穷级数的早期工作
牛顿，莱布尼茨等人在微积分中都使用了无穷级数。并且用于计算pi，e，对数函数和三角函数。也用于将隐函数转换为显函数。

3.函数的展开
詹姆斯·格雷戈里和牛顿分别独立给出了函数插值公式。插值公式可以用来逼近积分，推导二项式展开，泰勒将插值公式发展为函数的无穷级数展开式。

4.级数的妙用
詹姆斯·伯努利和欧拉计算量大量无穷级数的和，给出了很多公式。但他们不太追究极限是否存在，也有很多混乱之处。

5.三角级数
欧拉，拉格朗日研究了三角级数，得到了通用的函数三角级数展开式，并求出了展开式各项的系数。

6.连分式
连分式用来逼近无理数的值，并证明e，pi都是无理数。拉格朗日用连分式来近似求解无理根。

7.收敛与发散问题
对级数的收敛与发散，尼古拉一世·伯努利对莱布尼茨和欧拉提出过很多建议，但他们不愿做过多考虑。包括拉格朗日等人后来也是如此。无穷级数的应用很成功，并且发散级数在19世纪也得到了很好的应用。