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在匀强磁场($\mathbf{B}=B\mathbf{z}$)中，矢势取($\mathbf{A} = \frac{1}{2}\mathbf{B}\times\mathbf{r}$)，则电子的Hamiltonian(除掉z方向的自由运动后)如下
\begin{equation}
H=\frac{1}{2M}\left(P_x^2+P_y^2\right)+\frac{e^2B^2}{8Mc^2}\left(x^2+y^2\right) + 
\frac{eB}{2Mc}\left(xP_y-yP_x\right)
\end{equation}
如果引入
\begin{equation}
H_0 = \frac{1}{2M}\left(P_x^2+P_y^2\right)+\frac{e^2B^2}{8Mc^2}\left(x^2+y^2\right),
\quad l_z = xP_y-yP_x, \quad \omega_L = \frac{eB}{2Mc}
\end{equation}
则
\begin{equation}
H = H_0 + \omega_L l_z
\end{equation}

($H_0$)是一个二维各向同性谐振子的Hamiltonian，可以按照230页的标准方法处理。

曾谨言说，在($H$)中作变换
\begin{equation}
q_1 = \frac{c}{eB}P_x + \frac{1}{2}y, \quad p_1 = P_y + \frac{eB}{2c}x
\end{equation}
和
\begin{equation}
q_2 = P_y - \frac{eB}{2c}x, \quad p_2 = -\frac{c}{eB}P_x - \frac{1}{2}y
\end{equation}
可验证这些量满足正则对易关系。($H$)变为
\begin{equation}
H = \frac{1}{2}M\omega_c^2 q_1^2 + \frac{1}{2M}p_1^2, \quad \omega_c = 2\omega_L
\end{equation}
看起来，($q_2$)，($p_2$)就像是分析力学里的循环坐标一样，而($H$)则通过这一“正则变换”变成了一维谐振子的Hamiltonian。