第123页 第一部 逻辑学 第42节

附释二：康德所用的名词，如“自我意识的先验统一”，看起来好像很严重，就好像那后面藏匿着有什么巨大的怪物似的，但其实意义却异常简单。康德所说的“先验的”的意义，可从他所划分的“先验的”和“超越的”区别，䌷绎出来。所谓“超越的”是指超出知性的范畴而言，这种意义的用法，最初见于数学里面。譬如，在几何学里，我们必须假定一个圆周的圈线，是由无限多和无限小的直线形成的。在这里，知性认为绝对不相同的概念，直线与曲线，要假设为相同，﹝这便是超越知性的看法了。﹞这种意义的“超越”，那本身无线，自己与自己同一的自我意识，也是有的，因为自我意识有别于﹝或超出了﹞受有限材料限制的普通意识。但康德认为自我意识的统一只是“先验的”，他的意思是说，自我意识的统一只是主观的，而不归属于知识以外的对象自身。

刚刚读完导论部分，就不对书本身做什么评论了。而就黑格尔在此处所提到的例子简单谈一谈想法。
此处为说明“超越”的涵义，黑格尔给出了数学上“化曲为直”的一个特例，即一个圆周上的无限小的一段，尽管仍然是曲线，却应当被视为与直线等同。更普遍的说法是，任意的曲线（也许我们应当要求曲线是光滑的，亦即不出现折角）上无限小的一段，都可以被视为直线。这一思想是计算一般曲线长度时，我们所必须接纳的。
这样的例子在数学上还有很多。我想，这种“超越”的思想严格讲起，其开端应当是牛顿与莱布尼茨发明微积分。用数学的语言来说，就是“无穷小”的概念。
什么是数学上的无穷小呢？对于实数而言，一个“无穷小”的正数就意味着你给出任意一个正实数，这个“无穷小”的数都比这个正数更小。这一想法乍看起来是非常矛盾的，我们无法真正构想这个“无穷小”的具体含义——而这恰恰印证了黑格尔所说的“超越”：每当我们给出一个正实数时，事实上它都是一个经验的对象；而“无穷小”则是一个“超越”的对象。正是二者之间这样的差异才最终导致了二者之间独特的关系。毫无疑问，这种关系必然是反直观的，然而这种关系仍然是合理的。
还记得高中时自学高等数学时，一度卡在极限的概念寸步难行。而极限概念中最关键的环节事实上就是这一“无穷小”的概念；或者，某种程度上我们可以讲，初等数学向高等数学的一跃的关键也就在于此。我想，对于多数人而言，高数的棘手就在于这自经验的一跃未能实现吧。
也许我们可以将数学上的“超越”再加普遍化。数学对象来自于生活，来自于经验；但它们又是经验对象的抽象，是加以理想化后的、有普遍性的概念。学习数学的过程，也可以认为就是这种抽象的过程，我们对经验性的内容加以超越，达到某种、也许可以称之为“理型”（唔，措辞蛮难的……）的东西；而之后我们对这些抽象之后的对象加以操作，得到结论，最后在反馈于经验世界中。
因而，学习数学最重要的无疑是这一抽象的、“超越的”过程；只有实现了这一点，才能真正把握到数学对象的内涵，得到对它们正确的认识。而为了实现这种过程，我们就需要大量的（当然，这里的“大量”因人而异，也许对于某些感觉灵敏的人而言，“举一反三”是能够实现的，那他需要的就是三分之一个单位的材料……）经验材料作为基础，以从中提取共性——而这提取的过程就是“超越”。
那么在此，我所希望提出的观点就是，所谓“数学的学习重要的是思考而非大量的练习”完全是一句错话。练习的意义在于提供我们所需要的基础，而唯有这个基础已经成熟，我们才能从中提取出我们所希望的东西。（唔，论点放最后有点醉醉的……）

ps：也许对于更近时期的数学而言，以上的观点并不成立；一个足够有力的驳斥就是，在数学学科接纳了公理化思想之后，有相当多的分支的出现仅仅基于若干与经验没有什么大的关系的公设之上。这种做法可以视为非欧几何的发展在数学其他分支上的推广——人们对现有学科的某些假设提出质疑，进行替换，而后得到一套自洽的新理论。不过，这些已经远远超出了我们普遍性的数学教育的范围，在此就略过不提了。