第15页 第二章 数列极限

这章开始介绍数列极限
数列极限-思维导图

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2016/08/30：
在介绍数列极限之前必须要明确数列的定义。数列是指按照自然数编号的一串数字。所有数列的下标都是自然数来的。

数列极限的定义就是经典的($\epsilon - N$)定义。这个定义可以理解成为两个人在比赛。
A：($X_{n}$) 跟 ($a$) 无限接近。
B：那就是有多近？
A： ($X_{n}$) 和 ($a$) 之间的差 也就是($|X_{n}-a|$) 要多小有多小？
B：能比1小吗？
A：可以。无论你说哪个数（也就是($\epsilon$)等于任何大于0的数都可以），我总能找到这样的一个($N$),  数列($X_{n}$) 的第N项以后，都可以满足($|X_{n}-a|< \epsilon$).
....
($\epsilon - N$)定义的思路就是通过这种类似可以无限循环的思路来去证明无穷趋近。

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设($A$)是非空上有界集合， 记($\beta= sup A$), 则必存在 ($x_{n} \in A$) 使得 ($x_{n} \to \beta (n \to \infty) $)：
这个定理是想要说明只要($A$)是一个非空上有界集合， 则一定可以在($A$)里面找到一个数列是收敛于上界的。
注意这里说的都是针对上界来说。为什么不讨论下界？因为数列是随着编号的。编号是一个一直增大的数。下界的话不等式方向不同，导不出类似的结论。

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 收敛数列必有界：
这个的证明思路是找界。因为数列收敛是当($n>N$)之后的事情。所以只要把($N$)之前的项和极限一起求个最大值就可以了。


无穷级数是数列的和。前($n$)项的和组成的数列如果收敛。那么这个级数才是收敛的。

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2016/08/31：

设(${x_{n}}$) 为无穷大量， 若($n$)充分大时 ($x_{n}>0(<0)$),则进一步称(${x_{n}}$)为正负无穷大量。所以正无穷大量里面也可能有负数的项，反之亦然。

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极限不存在跟极限无意义是两种不同的情况。无限极限跟不存在极限/发散同义。极限无意义是指不存在任何极限（包括有限或无限）。

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P31 中的练习包含很多知识点。

-有界量与无穷大量的乘积是无穷大量。
-收敛数列必不是无穷大量。 这个的证明思路是收敛数列必定是有界，既然有界，那么界之外的数数列一定达不到，就不符合无穷大量的定义
-两面夹这个性质一定要在极限存在的情况下才是生效的。第6题直接提供了实例。($y_{n}= (-1)^{n}n$), ($z_{n}=-n$), ($x_{n}=((-1)^{n}-1)n/2$). 这个例子中。 ($y_{n}$)和($z_{n}$) 都是无穷大量。 ($x_{n}$) 被夹在中间，是($y_{n}$)和($z_{n}$) 通过加权的来的。但是($x_{n}$) 并不是无穷大量。($x_{n}$) 是一个波动的数列。 画图可以看到。它是在($0$)和($-n$) 之间波动。尽管一直有增大的趋势，但是不能满足无穷大的($\epsilon - N$) 定义。因为这个定义要求是($ \forall n>N$), 都能符合定义。但是由于波动的存在，($x_{n}$)不能满足。
-上面的这个例子同时证明了，无界数列不一定是无穷大量。
P31 中第6题Xn的点状图


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2016/09/01

今天就学了Stolz定理。Stolz定理是用来解决 ($* / \infty$) 的不定型。注意其使用条件是分母是严格单调递增数列，且极限必须是正无穷。 在证明中 ($lim (b_{n+1}-b_{n}) / (a_{n+1}-a_{n})= \infty  $) 的情况是通过证明其倒数是无穷小来实现的。(${a_{n}}$)严格单调递增用来保证分母不为0，和在证明($b_{n}-b_{N} \to + \infty$)时候使用

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练习六中
1.（1）用的是归纳法。因为直接套用Stolz定理没有办法求出极限。
（2）中需要将分母进行二项式展开

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2016/09/02

单调有界数列(${x_{n}}$) 必收敛。

介绍这个定理的时候。还有一个推论：($x_{n}$)如果单调递增，则其极限必是有限或者($\infty$)。书中的表述直接是极限存在。但是根据书本的P31，极限存在指的是存在有限极限。我比较倾向于跟着书本P31的来进行。不然表述上很容易混淆。
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数($e$)和数($\pi$)

($lim (1+1/n)^{n} = e$)

($lim nsin(180/n)= \pi$)

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注意区分P级数和无穷递缩等比数列。

p级数的p是指数。无穷递缩等比数列的区分条件底($|x|$)。
p级数在($p>1$)的时候极限存在。在($p=<1$)时候发散。
p级数的证明中也用到了无穷递缩等比数列。

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Leibniz级数的使用条件。

单调递增且 ($b_{n} \to 0$).

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P40页中的例题和习题主要是介绍用递推法来求数列极限。

需要注意的是，在获得了递推公式，并通过两边同时求极限解方程还获得极限之前，必须要先证明极限存在。最常用的方法就是利用单调递增数列必有极限来证明。

另外两边同时求极限来获得的方程，有时候会得出两个解，这个时候就要针对数列的初始值以及界限来进行分类讨论。


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2016/09/04

今天主要学习的是闭区间套定理。闭区间套定理的形象描述就是。用一堆无限递缩的闭区间套，他们的交集是非空集，里面有一个单点。这个定理的作用个人感觉就是很好的定义了一条连续的线上的点究竟是怎么样的一回事。

比如说你想得到一条线上的一个点。那究竟怎样才能得到呢？就用一堆闭区间套去把它套着。
当然之后肯定还有用的，但是直观来说目前我只想到这个。

另外值得一提的是张筑生版的《数学分析新讲》里面的闭区间套定理有一个等价的描述。更简洁，而且将一些证明的过程也包含进去了。


如果实数序列 (${a_{n}}$) 和 (${b_{n}}$) 满足条件
1. ($a_{n-1} \leqslant a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant b_{n-1}, \forall n>1;$)
2. ($\lim (b_n-a_n)=0,$)
那么
序列 (${a_{n}}$)与 (${a_{n}}$)  收敛于相同的极限值:($ \lim a_n=\lim b_n=c$),
($c$) 是满足以下条件的唯一实数: ($a_n \leqslant c \leqslant b_n, \forall n \in \mathbb{N}$).

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P42 页的习题中也包含对闭区间定理的进一步解析

（1）第一题表明，将闭区间换成开区间同样能够证明开区间套的无穷交是非空集合。但是不一定是单点集合。这题的证明用到了数学归纳法。
（2）第二题表明，无穷递缩这一条件主要是用来证明闭区间套的无穷交是单点集。
（3）第三题根据提示去证明就已经很明显了
（4）将例3中的证明套进去即可
（5）证明无理数是不可列集合，要知道有理数是可列集，实数集是不可列集，实数集是无理数集和有理数集的并集。用反证法就可以了

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2016/09/05

今天学的是子列。
最重要的便是：
收敛数列(${x_n}$) <==>其任意子列收敛。

这里书中的描述的充分必要性有点让人困扰。
收敛数列(${x_n}$)  <== (${x_n}$)的任意子列收敛。 这个在书中表述是证明其充分性。而且这个的证明是利用“(${x_n}$) 本身就是(${x_n}$) 的一个子列”来证明的。

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利用“如果一个数列有两个收敛于不同极限的子列，则该数列必定发散。”来证明数列发散。

书中的例子，和练习的第一题是同一个类型的题目。不过要注意三角函数的周期性。用图像来表示就是找两条不同的平行于($x$)轴的线去与正弦函数相切，就可以得到两个收敛于不同极限的子列。
P44页中练习的第一题
当然我对数列必定发散是有保留了。如果数列极限没有意义呢？估计可能表述有一点问题吗？

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P44练习的第二题。

要利用任意子列收敛于统一极限，来证明数列收敛。
这道题目并不难。但是表述起来需要斟酌一下。表述最好能够做到，数列中的任意情形都能转化到其中一种子列的情况上来。


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2016/09/08

P44练习第三至 都是证明数列跟子列之间的关系。
第三题的<=是利用单调有界数列必有极限来证明。
第三题用人话来说就是“单调数列如果存在一个收敛的子列，则该数列收敛”

第四和第五题
里面经常用到的一个套路就是($n_k >= k$)。 且($k \to  \infty $) 意味着($n_k \to  \infty $).
第四题用人话来说就是“发散数列的任意子列都发散”

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Bolzano-Weierstrass定理

这个定理的证明思路是用闭区间套来切割数列。切割完后，在每个闭区间套里面取一个元素，这样就可以得到原数列的一个子列。由闭区间套定理，闭区间套的无穷交是一个单点集。这样这个子列就是收敛于这个单点。

至于推论。“任一数列(${x_n}$)必存在有极限的子列(${x_{n_{k}}}$)”。我有点怀疑。如果一个数列不存在极限，那它也一定会有有极限的子列吗？

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P45页的练习

第一题是“无界数列必定存在发散的子列”。这道题的证明还是利用($n_k >= k$)，($k \to  \infty $) 意味着($n_k \to  \infty $)。利用下标趋向于无穷是常用的套路。
第二题很容易就会联想起P44页练习二的第3题。但是注意的是这里的证明不能用“单调有界数列必定收敛”，否则会导致循环证明。

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否定说法

这里主要都讲如何得出一个判断的否定。这里很核心的一个要点就是要将文字化的语句，用最底层的数学语言表达出来，然后再作否定。这样可以避免很多文字表述上的陷阱。如“无穷大量”的否定，经过数学语言表述然后取否以后，得到的是“存在收敛的子列”。而不是自然语言的直接取否，变成“无穷小量”。

这一章让我想到，为什么讨论子列。 因为($\epsilon-N$) 定义中， ($n>N$) 其实就是原来数列的一个子列啊。

还有一个要注意的是，取否定的时候，如果一个语句前面有($\forall \exists$)， 那么只需要对($\forall \exists$) 进行取否即可，而语句内容不需要变更。如 ($\forall x>0$) ，取否定是($\exists x>0$), 而不是($\exists x<=0$),

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2016/09/21

过完中秋，终于迎来了最后的更新了。处理一下最后的习题。

P46页习题：
1：比较基础的题目。不过要注意一下($N$)的取整。为了保险其实都是做个取整+1比较好
2：利用收敛数列的所有子列都收敛于同一个数列。
3：那个既有($A$)又有($B$)元素的点是确界。
4：这个极限当($n$)分别为奇数和偶数的时候，有收敛于不同极限的子列。
5：夹逼性质。（我又想歪了）
6：类似于用递推公式求极限的思路。先证明极限存在。然后用递推公式求极限。然后发现两个极限相等
7：反证法。其实用正向的思路想一次，就会觉得非常通顺
8：这道题想法是想到了，但是要表述起来有点困难。基本思路就是用闭区间套去套住那个确界点。闭区间套的构造方法是二分法，通过确定是否是上界来确定。书中的答案还应用到了张筑生中的关于闭区间套的定义表述形式。
9：直觉告诉我是用Stolz定理。但是很难做不出来。主要是要通过构造无穷小来实现。先讨论($\alpha = 0$) 的情况。然后将不等于0的情况转换为($\alpha = 0$) 的情况。