第59页 3.7 Fourier Series
旧学新知 (鸟去鸟来山色里)
- 章节名:3.7 Fourier Series
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假定有Hilbert空间H中一组单位正交列{e_i},其生成的闭子空间为M, 则有:
1. 由任何平方和收敛的数列作系数形成的级数收敛,且系数为极限与对应e_i的内积。
2. 反之,对任一H中元素x,与e_i的内积称为Fourier系数。Bessel不等式保证Fourier系数平方和小于||x||^2故收敛,进而由1可知Fourier级数收敛于M中元素\hat{x},且有x-\hat{x}与M正交。
3. 若该单位正交列完备,即M=H,则x的Fourier级数收敛到x自身。
4. 该单位正交列完备的充要条件为: H中与所有e_i均正交的元素仅为0.
给定一组线性独立集{y_i},求x到{y_i}所生成的闭子空间M的最短距离,也即用y_i的线性组合来近似x,可用Gram-Schmidt法与Fourier级数求得:先将{y_i}单位正交化,再求x的Fourier级数\hat{x},则x与\hat{x}距离即为所求。
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