chapter 2-math, specially on set theory and induction axioms

接受新知识的障碍有两种，一种是毫无基础，以致于很难在直觉层面对新知识形成理解；一种是对相关基础知识”成见太深“，僵硬到无法为更深层次的认知腾出空间。对书中第二章集合论相关知识的不适感，大部分来自于第二个原因，中学时代学习集合论时（那时好像没有特意提到集合论这个词），大量的习题把集合映射，函数等概念深深地印在了脑海中，以致于第二章引入`n-place relation`用来表达集合间的关系时，一下子就想到了这些”旧知识“，忍不住要把这些新知识翻译到旧知识上去。一方面，每次遇到bi-relation就转换到映射，一方面，看到relation就忍不住去想集合的交并差。映射在逻辑上还沾点边，但看到relation想到交并差就着实把自己带坑里了。
所以，第一次看这章时，我不得不先盖上书本停了下来，隔了几天，清空了一下大脑再看第二遍。抛掉预先存在脑子里的映射等概念后再来看，发现relation才是更自然，表达能力也更强。而映射和函数的概念也能在relation的基础上简单地构造出来，所谓`partial functiuon`就是domain中每个元素的partner唯一的bi relation，而如果S中的每个元素都有R关系partner（即S=domain(R)）， 则称R为total function。
通过对relation的reflexisve，symmetric和transitive三种性质的考察，我们可以得到set relation的类似于自然数中由"<="构建起来的顺序，这就是所谓ordered set。如果relation R on S既是reflexsive又是transitive的，则称R是一个pre-order on S，通常用小于等于号来表示。这一我们从很小的时候就经常见到的符号，再一次出现在相对”高等“的理论体系中，这一现象也启示了我，就数学知识而言，我们学到的很多基础知识，其实是存在更抽象、更普适的理论基础的。书中的least upper bound和greatest lower bound的定义也很有意思，这是我第一次看到在不涉及具体数字的情况下引入类似的概念。
基于pre-orderset，我们可以构建出decreasing chain（为什么不提increasing chain呢？）有意思的是，书中把有限长度的decreasing chain(也就是存在最小值的R咯？)称为well founded，看起来大家似乎更关注这种decreasing chain，但另一方面，又在括号里显式地说：
Chains can be either finite or infinite, but we are more interested in infinite ones, as in the next definition
这就让人有点疑惑了。
这章最新，最难理解的是两个closure-reflexive closure和transitive closure。因为relation也是用集合表示的，基于集合的包含等关系，我们就能对relation进行比较了，而这里的closure，就是指符合某种特则的所有relation中，处于包含链最左端的第二个（最左端第一个是R），而这个特征则由reflexive和transitive两个词指定。不过，closure的定义具体有什么用，目前还不是很清楚。书中通过两道证明题的方式，说明了怎么构造一个relation R的两种closure。证明方式应该就是普通的数学归纳法。
这章带来震撼感的第二个点是induction，也就是我们平常说的数学归纳法。原来数学归纳法是有明确形式化定义的公理，而且根据归纳对象的形式总共分为三种：ordinary induction on natural numbers，complete induction on natural numbers, lexicographic induction。分为三条公里，说明他们之间无法互相导出，尽管看起来是如此相似。值得一提的是，induction介绍的最后面提到：
The mathemati- cal foundations of inductive reasoning will be considered in more detail in Chapter 21, where we will see that all these specific induction principles are instances of a single deeper idea.
我已经迫不及待想了解，这个deeper idea到底是什么了。