第一部分 在教室里：主要部分，主要问题

1. 解题工作的四个阶段，每一个都有其重要性，下面会各自详细讨论。
第一，我们必须理解该题目；我们必须清楚地看到所要求的是什么。第二，我们必须了解各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟订一个方案。第三，我们执行我们的方案。第四，我们回顾所完成的解答，检査和讨论它。
2. 理解题目
（1）必须理解该题目的语言陈述。
教师可以让学生复述，学生应能流畅地阐述该题目。
学生应能指出题目的主要部分。问：“未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？”
（2）学生应专心、反复地从各个方面来考虑题目的主要部分。
如果一幅图与该题目有关，那就画一张图，引入适当的符号。
在过程中只能得到一个暂定的解、一种猜测时，问：“条件有可能满足吗？”
3. 拟订方案
解答一个题目的成就在于构思一个解题方案的思路，这个思路或是逐渐形成，或是灵光一现。那么如何唤起一个好的思路呢？
（1）好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识。
（2）但要注意的是，我们要的不是全部知识，而是与求解该题目相关的内容。所以，问：“你知道一道与它有关的题目吗？”
那怎么找到相关的、对解题有用的题目呢？
观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。
（3）找到这道相关题目后，怎么利用它呢？也许会激发出一系列正确的思路，但如果无效的话，我们又该怎么调整呢？
如果无效，我们必须仔细考虑某些其他更适当的联系点，并且探测我们题目的各个方面；我们不得不变化、转换和修改该题目。“你能重新叙述这道题目吗？”我们的表中的某些问题暗示了改变题目的一些特殊方法，例如普遍化、特殊化、使用类比、放弃一部分条件等等；这些方法的具体细节是重要的，但是我们现在对此不作深入讨论。题目的变化可以引出一些适当的辅助题目：如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。
在试图应用各种已知的题目或定理，考虑各种修改，以及用各种辅助题目进行试验时，我们可能会与我们最初的题目偏离如此之远，以至于有完全丧失最初题目的危险。然而，这里有一个可以把我们带回到最初题目的好问题：你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？
4. 执行方案
相比于拟订方案，执行方案容易一点，需要的主要是耐心。
解题方案给出了一个总体的框架，我们必须使自己确信细节都符合这个框架，所以我们不得不耐心地逐个检査所有细节，直到每一点都非常清晰，不再有任何可能会隐藏着错误的含糊之处。
在实际教学中，需要注意的一点：
我们应使学生真正确信每一步的正确性。在某些情况下，教师可以强调“看出”和“证明”之间的区别：你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？但是你又能证明这个步骤是正确的吗？
5. 回顾
这是经常会被忽视的一个部分，但却是解题中一个重要且有益的阶段。为什么“回顾”如此重要呢？
通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力。一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻地认识到没有任何一个题目是彻底完成了的。总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解。
那么，如何“回顾”呢？
（1）验证结果或论证。
同样我们也更倾向于通过两个不同的证明来使我们确信：你能以不同的方式推导这个结果吗？我们当然更希望有一种快捷直观的论证而不是一种冗长笨重的方法：你能一眼就看出它来吗？
（2）考察这个题目与其他事物之间的联系。
教师应鼓励学生想象一些情况，在其中他们可以再次利用这些使用过的解题程序，或者已经获得的解答。你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？
6. 一些原则
（1）面对学生的不同的反应，教师可以采取不同的方法提问、启发来灵活应对。
（2）“怎样解题”表是简单的、自然的、普适的，但在不同的教学场景中运用时也是可变的，需要教师逐渐适应。
（3）要区别出好问题和坏问题。经常有的一个现象是虽然提出的问题是为了帮助学生，但这个问题是个坏问题。书中举了一个例子让我们看一下。
让我们回到第10节开头所列举的情况中来，当时我们所问的问题是：你们知道一道与它有关的题目吗？从帮助学生的最良好的愿望出发，我们也许会代之以另外一个问题：你们能使用幻股定理吗？
意愿也许是最良好的，但这个问题大概是最糟糕的。我们必须认识到是在什么情况下提出这个问题的；然后我们就会发现针对这种“帮助”有一大堆的反对意见。
    （1）如果学生已经接近于问题的解答，那么他也许会理解这个问题所给出的暗示；但如果不是这样，他很可能根本看不到这个问题所要指向的要点，那么这个问题就无法在他最需要帮助的地方给他帮助。
    （2）如果学生理解了问题的暗示，所有的奥秘都被揭开了，几乎没什么可留给学生做的了。
    （3）这个建议在本质上太特殊了。即使学生能应用它来解决手头的这个题目，但对以后会碰到的题目他们根本没有学到什么。这个问题没有启发性。
    （4）即使学生理解了这个建议，他也很难明白教师如何获得提出这样一个问题的思路。那么，学生自己又怎能提出这样的问题呢？这就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外；它根本不具有什么启发性。