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“恰好有一个S是P”的最后一个式子打印错了。∃x∀y(Sy∧Py → x=y) 说的是，对于任意一个东西，如果它既是S又是P，那么它存在。这显然是一句重言式。实际上可以证明 
∅├ ∃x∀y(Sy∧Py → x=y)
也就是说这个句子可以无条件推演出来，而“恰好有一个S是P”显然不可能无条件推演出来。

至于 ∃x∀y(x=y → Sy∧Py)这句话我搞不懂是什么意思……所以中间能不能用双向蕴涵号也存疑。
对于一个谓词的数量词句容易得到：
S至少有一个：
∃xSx 

S至多有一个：
∀x∀y(Sx∧Sy → x=y)

S恰好有一个（有且只有一个）：
∃x∀y(Sx∧Sy → x=y)
那么把上述的谓词S改成一个复合谓词S∧P就得到了：
既是S又是P的至少有一个（至少有一个S是P）：
∃x(Sx∧Px)

既是S又是P的至多有一个（至多有一个S是P）：
∀x∀y(Sx∧Px∧Sy∧Py → x=y)

既是S又是P的恰好有一个（恰好有一个S是P）：
∃x∀y(Sx∧Px∧Sy∧Py → x=y)