Name: 偏微分方程
ISBN: 9787040304480

《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴...

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第一章绪论 1 常用符号 2 基本概念 3 一些例子 4 纵览第二章一阶方程 1 一个简单线性方程 1.1 解析求解：特征线方法 1.2 近似求解：有限差分方法 2 一类简单拟线性方程 2.1 Burgers方程 2.2 一般情形 2.3 导数的突变和破裂时间 3 拟线性方程的几何理论 4 拟线性方程的Cauchy问题 4.1 Cauchy问题 4.2 局部解的存在性 4.3 解的存在唯一性条件 4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程 4.5 高维情形 4.6 例子 5 一阶偏微分方程组 5.1 一阶线性偏微分方程组 5.2 一阶拟线性偏微分方程组 6 总结与思考第三章具有两个自变量的二阶偏微分方程 1 拟线性二阶方程的特征 2 奇性的传播 3 二阶线性方程的标准形 4 一维波动方程 5 总结与思考第四章波动方程 1 一维波动方程：方程的导出及定解条件 1.1 方程的导出 2.1 定解条件 2 一维波动方程：Cauchy问题 2.1 叠加原理 2.2 齐次化原理 3 一维波动方程：初边值问题 3.1 分离变量法 3.2 非齐次方程 3.3 非齐次边界条件 4 高维波动方程的Cauchy问题 4.1 高维空间中的波动方程 4.2 定解条件 4.3 球平均法 4.4 Hadamard降维法 4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解 5 波的传播 5.1 基本概念 5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象 5.3 解的衰减 5.4 解的正则性 6 一般的Cauchy问题与初边值问题 6.1 一般的Cauchy问题 6.2 初边值问题 7 能量不等式 7.1 动能和位能 7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性 7.3 Cauchy问题解的唯～性与稳定性 8 总结与思考第五章热传导方程 1 热传导方程的导出及其定解条件 1.1 方程的导出 1.2 定解条件 2 Cauchy问题 2.1 Fourier变换 2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法 2.3 解的存在性 3 初边值问题 4 极值原理 4.1 极值原理 4.2 初边值问题 4.3 Cauchy问题 5 Li-Yau估计与Harnack不等式 6 渐近性态 6.1 初边值问题 6.2 Cauchy问题 7 总结与思考第六章 Laplace方程 1 方程的导出及定解条件的提法 1.1 方程的导出 1.2 定解条件 2 变分法 2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程 2.2 变分原理 2.3 变分问题与定解问题的求解 3 调和函数 3.1 Green公式 3.2 基本积分公式 3.3 基本性质 3.4 极值原理 3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性 4 Green函数 4.1 引进Green函数的动机及其基本性质 4.2 镜像法 4.3 解的验证 5 调和函数(续) 6 强极值原理 6.1 强极值原理 6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性 7 总结与思考第七章拟线性双曲守恒律方程组初步 1 拟线性双曲守恒律方程组 1.1 基本概念 1.2 例子 1.3 解的破裂 2 间断解 2.1 解的定义 2.2 Rankine-Hugoniot条件 2.3 熵条件 2.4 Riemann问题 3 非线性波：经典解情形 3.1 疏散波与压缩波 3.2 应用实例——追赶问题 4 非线性波：间断解情形 4.1 单个守恒律 4.2 激波的形成与传播 4.3 Riemann问题(续) 5 总结与思考第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理 1 准备知识 1.1 多重无穷级数 1.2 实解析函数 1.3 实解析函数(续) 2 Cauchy-Kovalevskaya定理 2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理 2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明 3 一些注记附录一 Fourier反演公式附录二 Li-Yau估计参考文献

第一章绪论 1 常用符号 2 基本概念 3 一些例子 4 纵览第二章一阶方程 1 一个简单线性方程 1.1 解析求解：特征线方法 1.2 近似求解：有限差分方法 2 一类简单拟线性方程 2.1 Burgers方程 2.2 一般情形 2.3 导数的突变和破裂时间 3 拟线性方程的几何理论 4 拟线性方程的Cauchy问题 4.1 Cauchy问题 4.2 局部解的存在性 4.3 解的存在唯一性条件 4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程 4.5 高维情形 4.6 例子 5 一阶偏微分方程组 5.1 一阶线性偏微分方程组 5.2 一阶拟线性偏微分方程组 6 总结与思考第三章具有两个自变量的二阶偏微分方程 1 拟线性二阶方程的特征 2 奇性的传播 3 二阶线性方程的标准形 4 一维波动方程 5 总结与思考第四章波动方程 1 一维波动方程：方程的导出及定解条件 1.1 方程的导出 2.1 定解条件 2 一维波动方程：Cauchy问题 2.1 叠加原理 2.2 齐次化原理 3 一维波动方程：初边值问题 3.1 分离变量法 3.2 非齐次方程 3.3 非齐次边界条件 4 高维波动方程的Cauchy问题 4.1 高维空间中的波动方程 4.2 定解条件 4.3 球平均法 4.4 Hadamard降维法 4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解 5 波的传播 5.1 基本概念 5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象 5.3 解的衰减 5.4 解的正则性 6 一般的Cauchy问题与初边值问题 6.1 一般的Cauchy问题 6.2 初边值问题 7 能量不等式 7.1 动能和位能 7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性 7.3 Cauchy问题解的唯～性与稳定性 8 总结与思考第五章热传导方程 1 热传导方程的导出及其定解条件 1.1 方程的导出 1.2 定解条件 2 Cauchy问题 2.1 Fourier变换 2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法 2.3 解的存在性 3 初边值问题 4 极值原理 4.1 极值原理 4.2 初边值问题 4.3 Cauchy问题 5 Li-Yau估计与Harnack不等式 6 渐近性态 6.1 初边值问题 6.2 Cauchy问题 7 总结与思考第六章 Laplace方程 1 方程的导出及定解条件的提法 1.1 方程的导出 1.2 定解条件 2 变分法 2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程 2.2 变分原理 2.3 变分问题与定解问题的求解 3 调和函数 3.1 Green公式 3.2 基本积分公式 3.3 基本性质 3.4 极值原理 3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性 4 Green函数 4.1 引进Green函数的动机及其基本性质 4.2 镜像法 4.3 解的验证 5 调和函数(续) 6 强极值原理 6.1 强极值原理 6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性 7 总结与思考第七章拟线性双曲守恒律方程组初步 1 拟线性双曲守恒律方程组 1.1 基本概念 1.2 例子 1.3 解的破裂 2 间断解 2.1 解的定义 2.2 Rankine-Hugoniot条件 2.3 熵条件 2.4 Riemann问题 3 非线性波：经典解情形 3.1 疏散波与压缩波 3.2 应用实例——追赶问题 4 非线性波：间断解情形 4.1 单个守恒律 4.2 激波的形成与传播 4.3 Riemann问题(续) 5 总结与思考第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理 1 准备知识 1.1 多重无穷级数 1.2 实解析函数 1.3 实解析函数(续) 2 Cauchy-Kovalevskaya定理 2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理 2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明 3 一些注记附录一 Fourier反演公式附录二 Li-Yau估计参考文献
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