微积分基本方法

第1章 微积分基本方法引论 1．1 创立微积分的主要动因 1．2 微积分的创立 1．3 微积分的发展 1．4 微积分的基本方法第2章 初等几何学中的“穷竭法” 2．1 第一次数学危机 2．2 曲边形求积中的穷竭法 2．3 穷竭法是初等几何学中具有普遍性的数学方法第3章 几何形态的“不可分法” 3．1 穷竭法的拓展 3．2 卡瓦列利创立的“不可分法” 3．3 不可分法的改进与完善第4章 笛卡儿创立的“坐标几何法” 4．1 笛卡儿是“解析几何学”的主要创立者 4．2 笛卡儿创立“解析几何学”的主要动因 4．3 笛卡儿创立的“坐标几何法” 4．4 “坐标几何法”的意义第5章 代数形态的“微元法” 5．1 罗伯瓦尔和笛卡儿的求切线方法 5．2 费尔马创立的代数形态的“微元法” 5．3 巴罗的“微分(特征)三角形”及其求切线方法 5．4 瓦里斯的《无穷算术》第6章 牛顿创立的“流数术” 6．1 牛顿的“科学数学化”思想 6．2 牛顿创立的“流数术” 6．3 牛顿发现了求面积是求流数的逆过程 6．4 首创的逐项积分法 6．5 牛顿的“最初比和最后比”思想第7章 莱布尼茨创立的“无穷小算法” 7．1 从自然数列的“阶差”思想到无穷小算法 7．2 应用无穷小算法创立的微分学 7．3 应用无穷小算法创立的积分学 7．4 莱布尼茨的无穷小概念第8章 神秘的无穷小方法 8．1 流数术和无穷小算法本质上都是无穷小方法 8．2 无穷小悖论(第二次数学危机)的引发 8．3 消除无穷小悖论的尝试 8．4 无穷小悖论为极限方法的创立提供了动力与契机第9章 实数域R上的极限方法 9．1 波尔察诺的“承前启后”之贡献 9．2 柯西创立了极限方法 9．3 魏尔斯特拉斯进一步完善与发展了“极限论”第10章 极限方法的奠基(实数论的创立) 10． 戴德金用“分划法”创立了“实数论” 10．2 皮亚诺把实数理论建立在公理系统上 10．3 “实数论”为极限方法奠定了逻辑基础第11章 古典集合论的思想方法 11．1 康托尔的实无穷集合及其造集原则 11．2 应用一一对应原则引进“势”的概念 11．3 集合论观点下的实数集 11．4 超限基数与超限序数 11．5 集合论悖论(第三次数学危机)的引发第12章 非标准数域R上的“无穷小方法” 12．1 数理逻辑的兴起 12．2 应用“模型论”构建非标准实数模型R 12．3 R上的“单子结构” 12．4 R上的无穷小方法参考文献后记

第1章 微积分基本方法引论 1．1 创立微积分的主要动因 1．2 微积分的创立 1．3 微积分的发展 1．4 微积分的基本方法第2章 初等几何学中的“穷竭法” 2．1 第一次数学危机 2．2 曲边形求积中的穷竭法 2．3 穷竭法是初等几何学中具有普遍性的数学方法第3章 几何形态的“不可分法” 3．1 穷竭法的拓展 3．2 卡瓦列利创立的“不可分法” 3．3 不可分法的改进与完善第4章 笛卡儿创立的“坐标几何法” 4．1 笛卡儿是“解析几何学”的主要创立者 4．2 笛卡儿创立“解析几何学”的主要动因 4．3 笛卡儿创立的“坐标几何法” 4．4 “坐标几何法”的意义第5章 代数形态的“微元法” 5．1 罗伯瓦尔和笛卡儿的求切线方法 5．2 费尔马创立的代数形态的“微元法” 5．3 巴罗的“微分(特征)三角形”及其求切线方法 5．4 瓦里斯的《无穷算术》第6章 牛顿创立的“流数术” 6．1 牛顿的“科学数学化”思想 6．2 牛顿创立的“流数术” 6．3 牛顿发现了求面积是求流数的逆过程 6．4 首创的逐项积分法 6．5 牛顿的“最初比和最后比”思想第7章 莱布尼茨创立的“无穷小算法” 7．1 从自然数列的“阶差”思想到无穷小算法 7．2 应用无穷小算法创立的微分学 7．3 应用无穷小算法创立的积分学 7．4 莱布尼茨的无穷小概念第8章 神秘的无穷小方法 8．1 流数术和无穷小算法本质上都是无穷小方法 8．2 无穷小悖论(第二次数学危机)的引发 8．3 消除无穷小悖论的尝试 8．4 无穷小悖论为极限方法的创立提供了动力与契机第9章 实数域R上的极限方法 9．1 波尔察诺的“承前启后”之贡献 9．2 柯西创立了极限方法 9．3 魏尔斯特拉斯进一步完善与发展了“极限论”第10章 极限方法的奠基(实数论的创立) 10． 戴德金用“分划法”创立了“实数论” 10．2 皮亚诺把实数理论建立在公理系统上 10．3 “实数论”为极限方法奠定了逻辑基础第11章 古典集合论的思想方法 11．1 康托尔的实无穷集合及其造集原则 11．2 应用一一对应原则引进“势”的概念 11．3 集合论观点下的实数集 11．4 超限基数与超限序数 11．5 集合论悖论(第三次数学危机)的引发第12章 非标准数域R上的“无穷小方法” 12．1 数理逻辑的兴起 12．2 应用“模型论”构建非标准实数模型R 12．3 R上的“单子结构” 12．4 R上的无穷小方法参考文献后记
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