马达まだ对《用数学的语言看世界》的笔记(8)

用数学的语言看世界
  • 书名: 用数学的语言看世界
  • 作者: 大栗博司 (Hirosi Ooquri)
  • 页数: 239
  • 出版社: 人民邮电出版社
  • 出版年: 2017-4-1
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    1596年出生的勒内·笛卡尔被誉为近代理性主义的创始人,他给欧几里得的平面几何带来巨大的变革。笛卡尔在著作《方**》中提到有以下四种探索真理的步骤。

    1)凡是我没有明确地认识到的真理,我绝对把它当成真的接受。

    2)要研究的复杂问题,尽量分解为多个比较小的问题,一个地分开解决。

    3)小问题从简单到复杂排列,先从容易解决的问题着手。

    4)问题解决后,再综合起来检验,看是否完全,是否将问题彻底解决。

    上述四个步骤反映了《几何原本》的精神,即从理性所当然的公理出发,依次推导出图形的复杂性质。

    2019-03-14 14:06:33 回应
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    解决费米问题的秘诀是不管出现多大的数字都不必慌张,只要按照理论谨慎计算即可。因为只是粗略的估算,所以只要保证位数正确就没问题。也就是说,关键在于不要数错0的位数。

    这个时候,使用乘法运算就非常方便。例如10^1=10或10^2=100,右上角的数字代表0的个数。1万亿即1 000 000 000 000的1后面连续12个0,所以可以记做1万亿=10^12.

    我们再使用这个方法来试着表示大数字(2013年的数据)

    日本的实际gdp=5.2*10^14日元

    日本的国家预算=9.2*10^13日元

    2019-03-14 14:07:07 回应
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    概率是一种用数字表示某种主张正确率的方法。例如,掷骰子的时候掷出1的概率是多少呢?骰子有6个面,分别标有1到6这6个数字。如果每一面都一样容易掷出的话,那么平均应该是6次里有1次会掷出1,即“掷出1的概率是1/6”

    不过,如果骰子特殊,也会出现容易掷出1的情况。这样1/6的概率就不准了。只要通过反复试验,就能算出特殊骰子的概率。假设掷1000次骰子,掷出1的次数是496次,那么得出的概率大于1/6.将两个概率相比,496/1000=0.496大于1/6约等于0.167(在本书中,将1/6计算到小数点后4位,最后一位四舍五入得出近似值,用约等于标记)。因为概率大于1/6,所以说明这骰子容易掷出1.除非骰子的状态发生变化,否则在掷1000次骰子是掷出1的概率并不会改变。但是掷骰子的方法偶尔不同,所以无法保证是否能刚好掷出496次1.因此0.496这个概率不是一个精确的 数字。如果想要算出更加精确的概率,那么需要增加掷骰子的次数。掷骰子的次数越多,实验得出的概率就趋向于固定值。

    2019-03-14 14:08:38 回应
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    大气中二氧化碳究竟增加了多少?

    现在,地球大气中的二氧化碳浓度不断增加,人类担心这会影响气候变化。二氧化碳浓度的增加是因为人类消耗了大量石油/煤炭等化石燃料吗?对这个问题作出判断,首先需要估算化石燃料的二氧化碳排放量。我不是大气或环境问题专家,但是仅仅靠我所掌握的意识,就能完成粗略的估算。我们来试着估算一下。

    人类消耗了多少能量

    我们每天摄取约为2000千卡的食物。卡路里是能量单位。不过,除了给食物,我们消耗的能量还包括开空调/使用电脑/制作产品/使用汽车等交通工具运输人或货物等,构成社会的所有服务业都在消耗能量。

    如上所述,我们需要估算真个社会消耗了多少能量。首先,来思考一下汽车的消耗。例如丰田卡罗拉配备有100马力的发动机。1马力指的是一匹马的力量,相当于1个人力量的好几倍。100马力大概是人力的好几百倍。

    人1天内仅从食物中摄取的能量为2000千卡,在现代社会中每个人需要消耗的能量则为从食物中摄取能量的好几十倍。卡罗拉的最大输出功率相当于几百个人消耗的能量,即相当于单个人消耗能量的数百倍,是个非常大的数字。因此,我们折中取50倍来计算,即估算每个人每天需要消耗100 000千卡的能量。虽然这个估算有点随意,不过数字的位数应该是正确的。

    全世界有70亿人口,那么全世界的能量能源消耗量应该大致等于每天70亿*100 000千卡=7*10^14千卡。

    2019-03-14 14:12:16 回应
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    在某种程度上,我们能够控制长寿的概率。例如饮食平衡/适当运动/拒绝吸烟/开车时系好安全带,等等。我们可以通过自身选择,将有助于长寿的每一步转化成有利条件。当然天生的体质也会影响寿命。如果天生体质较好,用抛硬币来比喻的话,就是最开始所持资金p相同,抛硬币时,如果p=0.47那么50日元翻倍的概率只有0.25%,但是如果p=0.53那么赢的概率达到99.75%。概率p的值相差甚微,却会让结果产生巨大的差异。有句老话叫做“每一天的积累最重要”,使用概率p(m,N),我们能通过数字切实体会到每天积累的重要性!这正是数学的力量。

    2019-03-14 14:12:38 回应
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    40岁女性接受乳腺癌检查,结果呈阳性并患上乳腺癌的概率是有9%。但是,检查结果呈阳性后再次接受检查的话,结果又会怎么样呢?为了计算方便,假设两次检查的可靠性相同。因为第一次检查结果呈阳性,所以乳腺癌的概率为9%,换而言之P(患上乳腺癌)=0.09.而且,这位女性接受第二次检查结果仍然呈阳性的概率为P(阳性)=0.14(计算方法请参考我的个人主页)。因此,再次运用贝叶斯定理,计算结果如下:

    P(阳性—箭头患上乳腺癌)=0.09*0.9/0.14~(约等于)0.58

    检查一次结果呈阳性的话,患上乳腺癌的概率只有9%。但是,再检查一次结果还是呈阳性的话,概率就上升至58%。

    2019-03-14 14:13:08 回应
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    假设刚开始手上有m元,每次的赌注为1日元。赌博最重要的是把握脱身的好时机,赢的钱增多到N元时果断收手。要么开始赢钱时不要收手,直到赢得目标N元;要么一直继续知道输光。

    将赢钱的概率记做P(m,N)。P是英语概率“Probability”的首字母,常用来表示概率。为了表示m元变成N元的概率,再在P补充写上(m,N)。这个概率大于1/2的话就有赢钱的希望,反之小于1/2的话最好还是尽早收手为好。概率公式如下:

    P(m,N)=1-(q/p)^m/1-(q/p)^N

    如上所述,我直接简要地导入了上述公式。该公式的解释过程有点复杂,因此我将在个人主页上加以补充。另一方面,将手头上的钱输光的概率等于1-P(m,N)。

    不过,p=q=1/2时,因为q/p=1,所以右边的分子和分母均变成了0,那么0就没有意义了。因此,出现这种情况时则采用以下计算方法,即

    P(m,N)=m/N(当p=q=1/2时)

    例如P(10,20)=1/2.此时拿10日元钱去赌博,所持金额翻倍的概率和输光破产的概率是五五开。

    假设用于打赌的硬币和普通硬币稍微有点不同,p=0.47,q=0.53.如果使用上面的公式,P(10,20)约等于0.23

    2019-03-14 14:13:38 回应
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    (即擅长数学又擅长理科的人数)/(班上所有学生的人数)

    正因为两者都在计算“既擅长数学又擅长理科的概率”,所以两边的计算结果相同。

    公式P(数学)P(数学-箭头理科)=P(理科——箭头数学)是数学界著名的“贝叶斯定理”。托马斯·贝叶斯是18世纪的英国牧师,他原本想要计算神存在的概率,结果却发现了这个公式。然而,这个公式在贝叶斯生前并没有公布,而是在他过世半个世界以后,法国的数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯撰写了一本有关概率的书籍,并在书中介绍了这个公式。在那之后,这个公式才开始被人熟知。

    2019-03-17 19:17:17 回应