焦骄对《万物皆数》的笔记(8)
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第9页 不自觉的数学家
在文字被发明的1000多年以前,美索不达米亚的陶器匠人们已经在无意中完成并展示了一个定理中所有被枚举出来的对象,而这个定理6000年之后才会被论述和证明。
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第43页 不习几何者不得入内
皇家测量员得到的结果是非常准确的:他们测量得到的结果,与我们今天所知的实际距离,误差不超过5%。
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第77页 一点儿方法
数学家们称这些“显然事实”为“公理”。公理和定理、猜想一样,都是数学陈述,但区别在于,公理没有证明过程,我们也不需要寻求证明过程。它们被所有人承认是正确的。
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第84页 一点儿方法
数学家们花了很长很长的时间,才终于明白这个(阿克琉斯)悖论实际上是巧妙地玩弄了“无限”的概念。芝诺悖论切割了时间间隔,使得阿克琉斯追赶乌龟的时间间隔变得越来越小。然而,这些无限的阶段却发生在有限的时间内,因此,当时间被突破的时候,就没有什么能够阻挡住阿克琉斯追上乌龟的脚步了。
一旦某一天,某个理论衍生除了一个悖论,那么这个理论的所有基础,也就是我们依据公理创造出来的所有定理,将纷纷倒塌。
悖论是通往冒险的邀请函,这张邀请函让我们不得不重新思考之前最熟悉的那些“理所当然”。
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第91页 从π到坏
数学家们推测,任意一组数列,不管它有多长,都会在π的小数点后的某一处出现。计算机的模拟似乎也证实了这一点:到目前为止,所有人们想要寻找的数列,最终都在π中找到了。然而,目前还没有人能够提供无可辩驳的证据,证明上述推测是毋庸置疑的。
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第93页 从π到坏
根据传说,阿基米德在泡澡的时候,脑海中突然灵光一闪,随机脱口喊出他著名的口号“尤里卡”(希腊语:我发现了)。他发现了如今以他的名字命名的阿基米德浮力原理:浸在流体中的物体(全部或部分)收到竖直向上的浮力,其大小等于物体所排开流体的重力。
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第215页 世界的字母表
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第221页 无穷小
面对“无穷”,我们有2个选择:要么断然拒绝任何与“无穷”有关的干扰,只通过不辞辛劳地计算近似值数列的极限值来研究牛顿物理的问题;要么鼓起勇气,小心谨慎地进入这片名为“无限细致的细分”的沼泽。 牛顿选择了第二条道路。
无穷小的概念将被运用到所有涉及连续变量的运算中,比如彗星的运行轨迹。 在气象学领域,“无穷小”被用来建模和预测温度或者大气压的变化;在海洋学领域,“无穷小”用来检测杨柳; 在空气动力学领域,用来控制飞行器或者各种航天器的机翼的空气渗透; 在地质学领域,用来监测地球的地幔演化,研究火山、地震,以及从长远的角度看——大陆漂移。