dy对《The Quantum Theory of Fields Volume I:Foundations》的笔记(41)

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dy (可以薦嘉客,奈何阻重深。)

在读 The Quantum Theory of Fields Volume I:Foundations

  • 第33页

    修补量子场论 P33上长长的一段讲了几种人们想到的解决无穷大问题的方案。当时的人们普遍认为,是量子场论理论本身的问题导致了无穷大的出现,因此解决问题,就必须对理论进行修改。 Heisenberg的方案是最直接的。避免发散的最直接方法是做截断,Heisenberg假设存在基本长度($L$),量子场论只在大于这个基本长度的尺度上成立。 有人猜想量子场论应有non-local的结构,因此建议场论的形式应由态矢、场算符的描述改为仅由可观察量(例如S矩阵)所作的描述。 Wheeler和Feynman在研究电磁场时发现,计算推迟势时,除了考虑源和试探电荷,还应把宇宙中所有电荷都考虑在内。 Dirac则假设存在一些负几率的态(an 'indefinite metric' in Hilbert space),在对所有态求和时,这些态可以消除无穷大。

    2011-02-16 15:50:07 回应
  • 第34页

    重正化 相比于上面的方案,重正化是一个“more conservative idea”。

    Perhaps these infinities could all be absorbed into a redefinition, a 'renormalization' of the parameters of the theory.
    引自第34页

    重正化要求改变的是我们对理论的认识,而非量子场论理论本身。 例子:我们认为电子的裸电荷是无穷大(即对电子电荷做了redefinition)。而真空极化导致我们观察到的电荷和电子的裸电荷不同,其修正是Eq. (1.3.3),也有一个无穷大。两个无穷大抵消,于是我们观察到的电荷(物理电荷)是有限的。

    2011-02-16 15:52:43 回应
  • 第49页

    线性矢量和反线性矢量 两个矢量的内积($\langle B|A\rangle$)对($|A\rangle$)线性,对($|B\rangle$)反线性。反线性是指:若($|B'\rangle =c|B\rangle$),则($\langle B'|A\rangle=\bar{c}\langle B|A\rangle$)。

    2011-02-16 17:35:05 回应
  • 第51页

    算符的性质 Eq. (2.2.2)和Eq. (2.2.3)分别是幺正算符和线性算符的定义;Eq. (2.2.4)和Eq. (2.2.5)分别是反幺正算符和反线性算符的定义。 幺正、线性以及反幺正、反线性都是某一个算符的性质,而接下来的adjoint(伴随)则是两个算符之间的关系。 设有两个矢量,($\Psi$)和($\Phi$),以及两个线性算符($O$)和($L$)。算符($O$)作用在($\Phi$)上,得到一个新的矢量($O\Psi$),它和($\Phi$)的内积是($\left( \Phi,O\Psi\right)$)。算符($L$)作用在($\Phi$)上,得到新的矢量($L\Phi$),它和($\Psi$)的内积是($\left( L\Phi,\Phi\right)$)。如果这两个内积相等,就称($O$)和($L$)有伴随关系,并用($L^{\dagger}$)来表示($O$)以示其与($L$)的关系。 线性算符和反线性算符的adjoint定义是不同的,这源于Eq. (2.2.3)和Eq. (2.2.5)的区别。 对于线性算符,由Eq. (2.2.6),结合Eq. (2.1.2)和Eq. (2.2.3),有($\left( \Phi,L^{\dagger} \left( \xi_1 \Psi_1 + \xi_2\psi_2 \right) \right)=\xi_1 \left( \Phi,L^{\dagger}\Psi_1\right) +\xi_2\left(\Phi,L^{\dagger}\Psi_2\right) =\xi_1\left( L\Phi,\Psi_1\right) +\xi_2\left( L\Phi,\Psi_2\right) =\left( L\Phi,\xi_1\Psi_1 +\xi_2\Psi_2\right)$),符合Eq. (2.2.6)的定义;对于反线性算符,由Eq. (2.2.7),结合Eq. (2.1.2)、Eq. (2.1.3)和Eq. (2.2.5),有($\left( \Phi,A^{\dagger}\left( \xi_1\Psi_1 +\xi_2\Psi_2\right) \right) =\left( \Psi,\xi^*_1 A^{\dagger}\Psi_1 +\xi^*_2 A^{\dagger}\Psi_2\right)=\xi^*_1\left( \Phi,A^{\dagger}\Psi\right) +\xi^*_2\left(Phi,A^{\dagger}\Psi_2\right) =\xi^*_1\left(\Psi_1,A\Phi\right) +\xi^*_2\left( \Psi,A\Phi\right) =\left( \xi_1\Psi_1 +\xi_2\Psi_2,A\Phi\right)$),符合Eq. (2.2.7)。 线性算符(或反线性算符)的幺正性(或反幺正性)决定了其adjoint等于其逆。Eq. (2.2.8)可以理解为计算伴随算符的方法。 连续变换的算符都是线性、幺正的。反幺正算符举例:time-reversal算符和charge-conjugation (particle-conjugation)算符,这两个变换都不能通过连续变换得到。

    2011-02-16 17:36:55 1回应
  • 第52页

    对称变换 Physical states由Hilbert空间中的rays表示,($T$)的作用是对rays做变换。数学上,量子态用Hilbert空间中的vectors表示,($U(T)$)的作用是对vectors做变换。同一个ray上有许多vectors,它们相差一个相位因子,因此,($U(T_2)U(T_1)$)和($U(T_2T_1)$)也可以相差一个相位因子,且这个相位因子和($U(T)$)所作用的vectors无关。(Eq. (2.2.14))证明过程用到了两个态矢量的叠加。存在一些态矢量,它们不能叠加,从而不受证明的约束。称这些态矢量属于不同的classes。不同的classes可以有不同的相位因子。 如果Eq. (2.2.14)中的($\phi=0$),称($U(T)$)为对称变换的群表示。如果($\phi\neq0$),($U(T)$)是投影表示。 ($T$)是抽象的变换群,而($U(T)$)可用方程式表达(如P54的Eq. (2.2.17))。

    2011-02-17 01:42:17 回应
  • 第55页

    Abelian群 ($U\left( T(\theta/N)\right)$)使用Eq. (2.2.17)做无穷小展开,并利用极限($\mathop{\lim}\limits_{x\to\infty } \left( 1+\frac{1}{x}\right) ^x =e$),得到Eq. (2.2.26)。

    2011-02-17 01:44:27 回应
  • 第53页

    李群和李代数 李群的定义:

    These are groups of transformations $T(\theta)$ that are described by a finite set of real continuous parameters, say $\theta^a$, with each element of the group connected to the identity by a path within the group.
    引自第53页

    出现的符号:($T$)表示变换群;($\theta^a$)是变换参数,($a$)表示不同的分量;($U$)是群表示;($t_a$)、($t_{bc}$)是群的生成元。 ($f(\bar{\theta},\theta)$)是做两次变换时,参数的合成法则,它的具体形式和参数选取有关。例如考虑一维运动,做两次洛仑兹变换,如果以速度($v$)为变换参数,($f(\bar{v},v)$)就是Lorentz速度合成公式;如果以boost的角度($\alpha$)为变换参数(($v=\tanh{\alpha}$)),则($f(\bar{\alpha},\alpha)=\bar{\alpha}+\alpha$)。($f^a(\bar{\theta},\theta)$)的展开式见Eq. (2.2.19),将某个参数用0代入可以还原到Eq. (2.2.16)。 Eq. (2.2.21)意味着可以从($t$)的低阶项递推得到高阶项,(该方程从一阶项得到了二阶项,事实上也可以写出更高阶的项,从而写出整个Eq. (2.2.17)的表达式。)得到这个方程要利用到($t_{bc}=t_{cb}$)。另外,($t_{bc}=-t_b t_c -if^a_{bc}t_a =-t_c t_b -if^a_{cb}t_a =t_{cb}$),于是可以得到Eq. (2.2.22)。($t_b$)、($t_c$)是两次不同变换操作的生成元,因此是non-Abelian的。而($t_{bc}$)是一次变换操作的二阶展开系数,因此两个下标可以交换对称。 满足Eq. (2.2.22)的代数称为李代数。

    2011-02-17 01:44:49 回应
  • 第55页

    Eq. (2.3.1)和Eq. (2.3.2)表达的内容相同,都是不同惯性系的坐标之间的关系,但具体含义略有差别。 Eq. (2.3.1)的含义是Lorentz变换下间隔不变(默认变换前后都是闵氏度规);Eq. (2.3.2)的含义是闵氏度规张量经Lorentz变换后,仍然是闵氏度规。

    2011-02-17 02:17:03 回应
  • 第56页

    本书需要注意($\Lambda$)上下指标的前后顺序。一般书以带撇或不带撇区分区分不同的坐标,本书则通过($\Lambda$)的指标的前后顺序区分。坐标变换时,($\Lambda$)后一个指标与后面的矢量指标收缩,剩下前一个另一坐标系的指标。因此($\Lambda$)变换(作用在逆变矢量上)和逆变换(作用在协变矢量上)的指标写法不同。

    2011-02-17 02:44:59 回应
  • 第56页

    Eq. (2.3.5)即Eq. (2.3.2),是度规($\eta_{\mu\nu}$)的变换公式。 Eq. (2.3.6)是($\eta^{\mu\nu}$)的变换式,可由Eq. (2.3.5)推出。Eq. (2.3.5)等号左边乘以($\eta^{\sigma\tau}{\Lambda^{\kappa}}_{\tau}$),得($\eta_{\mu\nu}{\Lambda^{\mu}}_{\rho}\left( {\Lambda^{\nu}}_{\sigma}{\Lambda^{\kappa}}_{\tau}\eta^{\sigma\tau}\right)$),等号右边乘以($\eta^{\sigma\tau}{\Lambda^{\kappa}}_{\tau}$),有($\eta_{\rho\sigma}\eta^{\sigma\tau}{\Lambda^{\kappa}}_{\tau}=\delta^{\tau}_{\rho}{\Lambda^{\kappa}}_{\tau}={\Lambda^{\kappa}}_{\rho}$)。另外,($\eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\kappa}{\Lambda^{\mu}}_{\rho}=\delta^{\kappa}_{\mu}{\Lambda^{\mu}}_{\rho}={\Lambda^{\kappa}}_{\rho}$),于是可以建立Eq. (2.3.6)上面的那个等式,进而得到Eq. (2.3.6)。

    2011-02-17 03:16:18 回应