dy对《简明量子场论》的笔记(28)

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dy (可以薦嘉客,奈何阻重深。)

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简明量子场论
  • 书名: 简明量子场论
  • 作者: 徐一鸿
  • 页数: 518
  • 出版社: 世界图书出版公司
  • 出版年: 2009-8
  • 第13页

    高斯积分 路径积分方法中经常要用到的数学运算:高斯积分,收录在Appendix 1中。其中的重要概念是Wick contraction,在P13的最后。求($x^6=xxxxxx$)的平均值,得到的结果是($\frac{1}{a^3}\cdot5\cdot3\cdot1$),这个结果可以理解成6个($x$)两两收缩,并对所有可能的收缩求和(后文出现的($\sum\limits_{\mbox{Wick}}$)即表示这个求和)后得到的结果。每两个($x$)收缩得到的结果是($\frac{1}{a}$),共有三对,即($\frac{1}{a^3}$)。可能的收缩方式有($5\cdot3\cdot1$)种,于是就得到($\frac{1}{a^3}\cdot5\cdot3\cdot1$)。P15的Eq.(16)是Eq.(10)的推广,Eq.(18)是一个具体例子。在这里,Eq.(18)的意义是求矢量($x$)的4个分量的乘积的平均值,这样的说法比较难理解。实际上,这样的运算是用来求格林函数的。比如P47的Eq.(10),如果令($\lambda=0$),得到的自由传播的四点格林函数形式和P15的Eq.(18)一致,其物理意义是两个粒子传播的几率幅:等号右边第一项表示粒子1从坐标($q_i$)传播到坐标($q_j$)的几率幅(等于($(A^{-1})_{ij}$)),乘以粒子2从坐标($q_k$)传播到坐标($q_l$)的几率幅($(A^{-1})_{kl}$)。由于粒子的全同性,粒子1的末坐标也可能是($q_k$),于是粒子2从坐标($q_j$)传播到坐标($q_l$)。另外还有第三种可能。把三种情况相加,就得到了两个粒子传播的总几率幅。

    2011-02-10 17:09:42 回应
  • 第7页

    量子力学中的路径积分 量子力学中,粒子在两点间的运动没有确定的轨道。对于“没有确定的轨道”,一般人就直接理解成“没有轨道”了,而Feynman独辟蹊径,理解成“有许多条(事实上,是无限条)轨道”。路径积分的思想是:对于从一点运动到另一点的任意一条轨道(用$x(t)$描述粒子运动的轨道),可以用$\mbox{const.}\cdot e^{iS/\hbar}$算出这条轨道的几率幅。其中$S=S[x(t)]$是作用量。粒子在两点间运动的总几率幅就是所有可能的轨道的几率幅之和。在经典极限下,$S$与$\hbar$相比是巨大的,路径的微小改变会造成几率幅的剧烈振荡,使得临近路径的总几率幅会相互抵消掉。只有在$S$取极值的路径附近几率幅不能抵消,这就是可以通过最小作用量原理求出的经典路径。

    2011-02-13 20:46:24 回应
  • 第16页

    量子场论中的路径积分 量子力学中的研究对象是粒子,用坐标($x(t)$)描述,量子场论中的研究对象则是场。所谓“场”,其实是一个数学概念。给定一个流形...或者不用“流形”这样的名词,我们生活的这个宇宙,每一点都可以用时间-空间四维坐标($(t,x,y,z)$)来描述。在每一个时空点之上都给定一个数($\varphi(t,x,y,z)$),就得到了一个标量场。(也可以在每一点上给定一个矢量($\bf{A}(t,x,y,z)$),得到矢量场;还可以得到张量场等等。)当然,在场论中研究的场,都是一些有物理意义的动力学函数。 给定一个场($\varphi(t,x,y,z)$),对不同的($t$),($\varphi$)不同,($\varphi$)对时间的偏导数是场的动能;对空间的不同点,($\varphi$)也不同,在场论中,($\varphi$)对空间坐标的偏导数也是场的动能。(其实应该是场的动量。但动能和动量实际上是同一四维矢量的分量。)总之,场的动能源于场在时空中的“变化”。 除此之外,场自身也有相互作用,称为势能。比较重要的势能项,有($\frac{1}{2}m^2\varphi^2$),其大小和场的平方成正比,系数($m$)表征这项作用的强弱。这项势能是场因为自身存在即具有的能量。因为能量即质量,可见($m$)其实就是我们熟悉的[静]质量。还有一个重要的势能项是和($\varphi^4$)成正比的。玻色气体中,每两个气体原子之间具有相互作用,假设相互作用能量是($U$)。对于有个($N$)原子的玻色气体,总相互作用能量就是($\frac{1}{2}N(N-1)U$),($N$)很大时约等于($\frac{U}{2}N^2\propto N^2$)。考虑到($\varphi^2=\varphi^\dagger\varphi=N$),玻色气体原子之间的相互作用其实就是($\varphi^4$)相互作用。 知道了场的动能和势能,就能写出拉格朗日量以及作用量,即P17的Eq.(5)。同样,可以算出这个场的几率幅。量子场论中的路径积分方法是:认为所有的场函数($\varphi(t,x,y,z)$)都是可能出现的,计算出所有($\varphi(t,x,y,z)$)的几率幅,把它们相加,得到一个总几率幅。 和量子力学中类似,如果($\varphi(t,x,y,z)$)做微小变化,一般来说,会导致几率幅的剧烈振荡,使得“相邻”的($\varphi(t,x,y,z)$)贡献的几率幅会相互抵消——除非在作用量取极值处。因此,在场论中,同样可以用最小作用量原理,求出“实际出现的”场。对于标量场,这个“实际出现的”场满足Klein-Gordon方程。

    2011-02-13 20:46:53 回应
  • 第20页

    源对场的作用 后文开始,保持和书上用的记号一致,用($(x)$)代替($(t,x,y,z)$)。 如P20所述。源($J(x)$)会和场($\varphi(x)$)耦合,使得场和无源时不同。其原因在于源与场的耦合会改变场的能量,(比如说真空中放入一个电子,就会改变电磁场的能量,)从而改变场的几率幅。作用量取极值的场也会相应地变化。 这里有个新的观念。初次接触场,应该是中学里学到的电磁场。那时候,场被描述为源“产生”的东西,比如说电荷产生电场,电流产生磁场等。而按场论的观点,电荷和电场,一个是spin-1/2 Dirac场,一个是spin-1电磁场,完全是两样东西。电荷并不会产生电场,而是因为和电场耦合,从而改变了电场——把电磁场从我们称之为“真空”的状态(这种状态我们以前认为是“没有场”的状态)变成另一种状态。

    2011-02-13 21:01:12 回应
  • 第12页

    Wick转动 P12提到了Wick转动,是对时间轴做一个($t\rightarrow it$)的变换,其目的是把度规从闵氏的($ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$)变成欧氏的($ds^2=-dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$),这样,在做积分时,可以“平等地”对待四个坐标,从而简化积分运算。有个需要注意的地方:变换不能是($t\rightarrow -it$),尽管这个变换也能达到同样的目的。其中的原因可以参考P23的Eq.(22):积分项的奇点在复($k^0$)平面的第二、四象限,Wick转动要避开奇点,因此只能是($t\rightarrow it$)。

    2011-02-13 21:06:27 回应
  • 第23页

    传播子 Eq.(22)给出了传播子的表达式,这是在四维($k$)平面上的积分。在($k^2=m^2$)曲线上的点(on shell),积分因子($\rightarrow \inf$),对积分贡献大。虚粒子(off shell)的传播子则小。这就是观察不到虚粒子的原因。

    2011-02-13 21:31:51 回应
  • 第39页

    ($M_{\mbox{pl}}^2$)和($G$)成反比。因为($G$)很小,所以($M_{\mbox{pl}}$)很大。 如果考虑额外维度的话,上述反比关系不一定对,也就是说,($M_{\mbox{pl}}$)不一定那么大。

    2011-02-13 21:42:39 回应
  • 第24页

    源和场 按照传统观念,电磁场是由电流产生的。法拉第引入的电力线就是这样的模型。(静电荷产生静电场。)而按照场论观点,电磁场是自有永有的,在没有电流时,电磁场呈现出我们称之为“真空”的分布。电流和电磁场耦合,使之偏离真空,就成为我们观察到的电磁场。 引力也一样。引力场的源是能量-动量张量。($T^{\mu\nu}=0$)时,($g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}$);($T^{\mu\nu}=0$)和引力场的耦合,可由Einstein场方程描述,会使得度规偏离平直度规,而变成弯曲时空,于是就有了引力。

    2011-02-14 00:04:16 回应
  • 第24页

    源和源 已知一个场,比如spin-1/2的Dirac场,它描述的是电子,可以用流密度方程求出相应的($J$)。($J$)就是经典物理中的电流。Dirac场和电磁场耦合,会改变电磁场。在经典物理中,把($J$)看成是电磁场的源。另一方面,这样的耦合也会改变Dirac场,而($J$)也会随之而变。如果有2个源的话,2个源分别与同一个场耦合,使得两个源之间也产生联系。于是可以观察到源和源之间有相互作用。 P24的Eq.(3)描述的就是这样的相互作用。Eq.(3)的后一段写了什么情况下相互作用大。这和经典物理中的共振有点相似。

    2011-02-14 00:46:52 回应
  • 第26页

    静场 在静场的情况下,源的频率为0,根据P24所述的相互作用大的条件,作为传播媒介的那个场的频率也应为0。因此Eq.(4)对($y^0$)积分后会“get a delta function setting ($k^0$) to zero.” Eq.(6)的积分,是在($k^{(4)}$)空间中,对($k^0=0$)的三维超平面的积分。这个平面上的粒子都是off shell的,也就是说,静场的能量都是由虚粒子贡献的。 整个计算过程:Eq.(3.15) -> Eq.(3.17) -> Eq.(6) -> Eq.(7)。

    2011-02-14 01:01:11 回应
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