dy对《量子力学概论》的笔记(3)

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dy (可以薦嘉客,奈何阻重深。)

在读 量子力学概论

量子力学概论
  • 书名: 量子力学概论
  • 作者: 大卫·J·格里菲斯
  • 副标题: (翻译版)原书第2版
  • 页数: 311
  • 出版社: 机械工业出版社
  • 出版年: 2009-11
  • 第1页

    粒子和波函数 经典力学采用的是质点模型。各种物理对象被抽象为一个点,其位置可用点的坐标来描述:($(x(t),y(t),z(t))$),(分析力学中则是这个点在相空间中的坐标,)牛顿第二定律描述的是这个点的运动规律。 经典力学中也有质点模型不适用的情况,如刚体、连续体等。但这些对象都可以归结为质点模型。 但当研究对象很小时,质点模型就彻底不适用了。宏观客体可以(近似地)用质点描述,而微观客体则不行,这说到底,并不是一件奇怪的事情。 要研究微观客体的运动规律,首先就要对微观客体作一恰当的数学描述。在量子力学中,可以用一个矢量描述对象所处的状态:($|P\rangle$)。微观粒子状态的演化在数学上描述为这个矢量随时间的演化。这样的描述是抽象的,也和经典力学的质点描述很不相同。两者的关系是:如果我们去测量微观粒子所处的位置的话,会发现粒子并不一定处于某个确定位置,而是有一个分布,即波函数($\psi(x)$)。这个分布取决于粒子所处的状态,($\psi(x) = \langle x|P\rangle$) ,因此也可以用波函数来描述微观客体的状态。(Dirac《量子力学原理》第20节。)态的演化同样可以归结为波函数的演化,其规律由薛定谔方程描述。 对于微观粒子的测量可参考Landau《非相对论量子力学》第7节。测量实质上是用一经典客体与微观粒子相互作用,两者组成的系统演化之后,微观粒子的状态会发生坍缩。粒子测量之前的波函数($psi(x)$)可以是一个在空间中分布很广的函数,对粒子的位置进行测量之后,其位置就会坍缩到某一点,即波函数变为($\delta(x)$)。(由于测量不可能完全精确,实际上波函数会坍缩为一个空间分布比较狭窄的形式。) PS:很多量子力学书中讲到的“粒子”实际上都是指质点,(如本书第2页:“一个粒子由其本质,是位于一个点。”)我觉得把这两个名词作区分比较好。粒子是物理上的研究对象,如电子、光子等微观对象,都是粒子(量子场论中也有“单粒子态”的说法);质点是对粒子的数学描述,这样的描述在宏观中适用,在微观世界中不适用。

    2011-06-22 18:36:10 1回应
  • 第20页
    一个经典的例子就是一个小车在水平光滑的空气轨道上运动,在两端处发生完全弹性碰撞,使得它在轨道上永远不停的来回运动。
    引自第20页

    其实这个例子已经不是“定态”了。后面谐振子一节开始时举的经典谐振子模型也是一样,所以P38图2.7,把定态解和经典谐振子处于各处的概率做的比较其实没多大意思。定态解大概根本就没有经典对应。

    2011-06-22 21:33:12 1人喜欢 回应
  • 第26页

    量子力学谐振子和经典谐振子的对应 经典力学的谐振子,可以理解成一个波包在势场中运动,它的波函数($\Psi(t,x,y,z)$)也是薛定谔方程的解,但却不是定态薛定谔方程的解。(薛定谔曾计算出谐振子的相干态解,可见Landau《非相对论量子力学》第23节的例题,这个解和经典模型对应地更好些。) 将($\Psi(0,x)$)(只考虑一维,($t = 0$)时的波包)用能量基矢展开:($\Psi(0,x) = \sum\limits_n c_{n}\Psi_{n}(0,x) $)。其中每一个能量本征态的演化($\Psi_{n}(t,x) = \Psi_{n}(0,x) exp(-iE_{n}t)$),因此($\Psi(t,x) = \sum\limits_n c_{n}\Psi_{n}(0,x)exp(-iE_{n}t) $)。这里的含时项不能从和式中提出,因此($\Psi(t,x)$)不能分离变量,也无法得到关于($\Psi(t,x)$)的定态薛定谔方程。但可以计算各能量本征态的演化,叠加而成($\Psi(t,x)$)的演化规律,从而得到波包的运动图像。这个图像可以和经典谐振子做类比。

    2011-06-22 21:41:48 1人喜欢 回应