章鱼喵是小笼包对《经典力学的数学方法》的笔记(1)

经典力学的数学方法
  • 书名: 经典力学的数学方法
  • 作者: [俄] В. И. 阿诺尔德
  • 页数: 416
  • 出版社: 高等教育出版社
  • 出版年: 2006-1
  • 第48页
    此章内容大部分都是以前理论力学和统计物理中常用的,但是因为本人知识的缺陷,一直没有认真的去理解一下 Legendre transformation.[1] 现在又一次遇到,故对目前的一些理解稍加整理。
    这是个很常见的变换。基本的定义书上讲的很清楚。

    换到多变量的情况,后面也讲过了。
    ## 方法
    所以按照这个定义,对于单变量的情况。求函数 f(x) 的 Legendre 变换只要下面的几个步骤。
    1. 求的 f(x) 的导数 f'(x),然后让 f'(x)=p, 我们要从 (f, x) 空间变到 (g,p) 空间,这里可以求的 x 和 p 的关系,即解出 x(p)。
    2. 把 x=x(p) 代入到定义式 g(p):=F(p,x)=p x - f(x) 中。就得到了 f(x) 的 Legendre 变换。
    多变量的求法类似,只不过要求出好多个变换关系( x_i ~ p_i 的关系)。
    ## 实例
    数学上的例子 Arnold 的书中提到了。而且提到了 Lagrangian 形式和 Hamiltonian 形式的关系。下面是一个热力学的关系,以前书中讲到,但是我没有仔细看。现在仔细算算发现一个小问题。
    U(S,V) 的 Legendre 变换是 -G(T,P)
    H(S,P) 的 Legendre 变换是 -F(T,V)
    就是说 U 和 -G 是数学上对偶的,H 和 -F 是数学上对偶的。
    但是如果我们按照数学的定义,把 G 直接定义成 U 的对偶,那么 G 对 U 的偏导数正好是 -1, 这样 G 是跟 U 负相关的,用起来就不好用了嘛。所以还是保留原来的这样的定义在物理上是比较好的。
    BTW,还是不太习惯数学的一些名词的叫法。
    [1] 话说应该是写成这样吧。我擅自把 wikipedia 的中文版的该词条的英文注解改成这样了。
    2012-05-27 16:25:33 1人喜欢 4回应
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