《日出:量子力学与相对论》试读:2、监狱里的群论

(1) 如果把1799年高斯写成他的博士论文那年作为英雄时代的开端的话,则之后的历史发展有一条清晰的潜规则,那就是数学往往在物理学之前先走一步。而在数学上,大约在1830年,伽罗华的稿件跟着傅里叶一起下葬以后,人们也跌跌撞撞地进入了群论的时代。 千年以前,人们开始研究代数方程,或者说是多项式方程。形如2x+3x=1,这样的方程不算是多项式方程。多项式方程即在方程中的每一项都是由x的n次方项组成的。例如,一元二次方程就是一个多项式方程。数学天才高斯严格证明了代数基本定理,即n次代数方程f(x)=0成立,那么它必然存在n个复数根。但是真正在技术上求解n次代数方程,并不是很简单的一件事情。 数学史上一点一滴的进步,都凝结了前人的心血。即便历史容易被人忘却,一些英雄的名字依旧会被铭记。方程论上最早的英雄塔塔里亚(Nicolo Tartaglia),就在技术上解决了三次方程的求解问题。 塔塔里亚掌握了三次方程的解法,却没有发表。每天压在枕头底下暗爽,2监狱里的群论日出: 量子力学与相对论 SUNRISEA story of the Quantum theory〖〗and Relitivity0[]0结果被人剽窃了。世道浇漓,剽窃的人反而成了当时该领域的学术带头人。塔塔里亚很是愤懑,1530年他约对方在米兰大教堂各出30道三次方程题目进行解题比赛。这场比赛观者千人,盛况空前,一时赚得娱乐圈和学术圈的头版头条。结果塔塔里亚大获全胜,对方一题未答。此事也成为剽窃史上的空前丑闻,让后人引以为戒。三次方程的解法尘埃落定,更多的人发起了对三次以上方程的挑战。 1824年,高斯48岁,功成名就,除了夫妻关系不怎么和谐,其他一切都还不错;伽罗华13岁,正在成长为一个愤怒儿童,他的父亲是拿破仑的支持者,也卷进了法国大革命城头变换大王旗的洪流之中。与此同时,在北欧半岛的挪威还发生了一件默默无闻的小事,22岁的阿贝尔(Abel)自费出版了一个小册子,在这个小册子中他证明了对于n≥5的n次代数方程,一般并不存在根式解。故事围绕着这些人展开。 (2) 阿贝尔是挪威的一个穷牧师的儿子,18岁那年,父亲去世,他差点因此上不起大学。当他还在中学时就开始着手探讨高次多项式方程的可解性问题——在初中的时候一般就会教授一元二次方程的求根公式与韦达定理,但更高次的方程的求根公式在中学里一般是不讲解的,在当时的欧洲也是这样的——阿贝尔后来上了大学,开始写更高深一些的文章,但命运不济,他写的关于椭圆函数的论文被巴黎科学院打入了冷宫。阿贝尔并没有放弃,又在不久以后发表论文证明了一般五次以上的代数方程,它们的根式解法是不存在的,只有某些特殊的五次以上的方程,可以用根式解法——这件事情后来在中国也引起一段故事,当时还在小杂货铺里算账的华罗庚就以一篇《论苏家驹之五次代数方程解法之不可能成立的理由》引起数学家熊庆来的注意,当时的华罗庚只有初中文凭,但从此进入清华大学,开始了波澜壮阔的数学人生——话说回来,当时阿贝尔这个文章没有引起别人的注意,阿贝尔于是急中生智,自费出书,并想借由这本书敲开高斯家的大门,于是,他把这本书邮寄给了身在德国的高斯。 在监狱里计算绘画: 张京 “如果高斯读了我的书,一定会惊艳于我的天才,他一定会约我,叫我去做他的帮手……”书邮寄出去以后,年轻的阿贝尔天天等着高斯的回信,他做着他的挪威梦。 然而高斯无情地粉碎了阿贝尔的梦。 没有回信。 寄出去的信好像是一块大石头沉没在无尽的深海…… 急不可耐的阿贝尔亲自跑去哥廷根,想为自己的天才讨个说法。可是却没有见到高斯,伤心绝望之余,他跑去了柏林…… 27岁的阿贝尔回到挪威,却得了肺结核,临死的时候贫病交加,除了一个女朋友愿意跟着他,其他几乎一无所有——这也不由得让人想起来那个在战后日本的废墟上自杀的天才数学家谷山丰。 天才生于寒冷,濒死之时,柏林大学邮寄出了给他的聘书,聘他去做教授。然而病重的阿贝尔并没有看到这封来信,一切都来得太晚了…… 阿贝尔的理论对后世有着巨大的影响。他的研究成果在他死后轰动了世界,延续了3个世纪的五次方程难题终于获得了解决。然后问题却似乎变得更加复杂了,究竟哪些方程可用根式解,哪些不能?这个更为深奥的问题浮出了历史的水面。 命运的齿轮似乎总在延续着惊人的巧合。阿贝尔去世的前一年,19岁的法国数学家伽罗华也写了一份论文交给法兰西巴黎科学院。他用一个新的方法阐述了能够根式求解的代数方程的条件,这是高斯博士论文的延伸,是一种对于求解方程可操作性的朦胧想法——基本意思就是寻找那个保持韦达定理的数学变化,重新排列根的位置与顺序,当保持韦达定理不变,这就好像一个大家族的男女在拍照合影,但保持各对夫妻关系家庭不变一样。 但是伽罗华的文章太过前卫,在别人看来有些南腔北调,不知所云。投稿2次,人家竟然把原稿给丢失了——前面讲到的傅里叶也得到过这个文章,但还没有仔细审稿就病死了。 很明显,伽罗华是另一位具有杰出才能的法国数学天才,他的出现在一定程度上也是法国大革命的成果。自从巴黎人民攻占巴士底狱,解救出八个政治犯后,法国就从封建王朝进入了资本主义社会,各种大小资本家们粉墨登场,最著名的就是以罗伯斯皮尔为领导的雅格宾派,在法国实行的红色恐怖主义的革命,杀了很多人……这是伽罗华来到这个世界之前的20年,法国社会乱象丛生,思想界也异常活跃,在这个“旧制度与大革命”的夹缝中,出现了一个数学的奇葩。 1811年10月26日,伽罗华出生在法国巴黎一个小市镇上。这个时候的法国,已经进入了拿破仑时代,不过离他穷途末路也只有3年了。1830年,21岁的刘维尔还是巴黎综合技术学校的学生的时候,他就写了一篇《热物理数学理论研究》的论文来申请当时巴黎科学院的最高数学奖,当时与他一起申请这个奖金的竞争者之一就是伽罗华。 很多年以后,以刘维尔名字命名的“斯图母刘维尔方程”给出了后来所有量子力学系统中的能级。不说刘维尔,就说这个伽罗华从17岁就开始研究方程可解性问题,他实际上是创造性地提出了用群论的方法来处理这类问题。所谓群论就是研究对称性的一门学问,其实很多时候人们早已经在利用对称性来处理数学和物理问题。比如在高中的时候,一些搞过物理竞赛的同学会被要求去计算一个正方体的处于体对角线上的两个顶点之间的电阻,这个正方体的每条边长的电阻是1欧姆。这个问题其实就是有对称性的,处于对称地位的点,它们一定具有相等的电势,所以可以合并成一个点,这样就可以很快求出这个系统的电阻是5/6欧姆。 在本书的附录中,我们也提到一个用相似三角形的对称思想来得到狭义相对论的“时间膨胀公式”的工作——这个公式解释了所谓“天上一天,地上一年”的现象,这个工作同样是考虑了狭义相对论中关于参考系的对称性质而得到的精彩结论。(当然关于相对论的基本思想与内容,我们将在本书的第二部分加以介绍。) 前面已经说过,伽罗华也具有同样的思想,但是他更加深邃,他把方程的根看成是相互平等的对象,然后来研究这些根保持韦达定理运算的那些对称变化……最后,伽罗华得到了一个后世人以他的名字命名的定理: 一个多项式方程如果是可以用根式求解,那么这个方程的伽罗华群是可解群。所谓可解群也就是说,这个群模去它的子群后得到一个商群,这个商群总是阿贝尔群。 就这样,离散群论就因为处理代数方程的问题而诞生了。 (3) 那这与本章标题里的监狱又有什么关系呢? 话再说回到性格倔强的伽罗华,他比阿贝尔更加生不逢时,他3次把研究论文交法国科学院审查,都未能得到及时的肯定——直到1846年,他去世14年以后,才由刘维尔在自己控制的杂志上刊登了当年一起参加竞赛的这位伽罗华同学的文章——不仅如此,由于伽罗华热烈支持和参与法国“七月革命”,在他进入巴黎高等师范学校的第一年就被开除学籍;当时的法国巴黎各派政治意见不合,习惯卸下门板,在街道上筑起街垒,互扔石头。这个时候拿破仑倒台,各种派系重新想轮流上台,开始又一场轮盘赌。伽罗华的父亲是追随拿破仑的,身为镇长的他由于被政治对手陷害,自杀了。 伽罗华也在这乱世的挣扎中因为共和党的一些思想与言论坐了几次监狱,所以,他的一些数学思想是在牢房里诞生的。 最后一次坐监狱,是漫长的8个月,在监狱里,他对群论的思想有了比较清晰的总结。在出狱后的一个月,21岁的伽罗华在一天晚上,为了一个女人,答应与人决斗。预测到可能遭遇不测的他在油灯下匆忙地写下了群论的纲领。这个纲领也算是一个遗言,在某个地方他写道: 我的时间不多了…… 第二天这位天才在决斗中牺牲。 1832年5月的这天。一轮血红的残阳挂在某一棵枯树的枝头。 整个世界都在哽咽。 阿贝尔和伽罗华皆在年轻之时就离开人世,然而他们对数学的影响却无比深远。他们对天才的年轻人有很好的示范作用,特引用歌词一首,以表哀思: 原谅话也不讲半句此刻生命在凝聚 过去你曾寻过某段失去了的声音 落日远去人祈望留住青春的一刹 风雨思念置身梦里总会有唏嘘 若果他朝此生不可与你哪管生命是无奈 过去也曾尽诉往日心里爱的声音 就像隔世人期望重拾当天的一切 此世短暂转身步进萧刹了的空间 只求望一望让爱火永远的高烧 青春请你归来再伴我一会 (4) 伽罗华的工作为群论奠定了基础——群论同量子力学和相对论有着密切的联系,这差不多是20世纪数学物理的主流之一。但19世纪的上半个世纪,群论的思想刚刚浮出水面,没有人可以预见到群论将来会和物理学有如此紧密的关系。 离散的群,就是说,群中的元素是有限个的,而连续的群,群元素则有无限多个。这需要另外一个数学家来发展它,当然是出于其他的目的。 挪威并不是一个泱泱大国,但它孕育了杰出的数学家阿贝尔。另一位大名鼎鼎的数学家索菲斯•李(Sophus Lie,1842—1899)也出自挪威。其所发明的李群就是一种连续群,是研究相对论的基本数学工具之一。 索菲斯•李,他已去世八十年了。他的伟大工作完成于1880年,那时候他也还年轻。 1870年普法战争爆发——俾斯麦再度发力,他想要统一德国,除掉奥地利,在这个过程中他首先要打击强大的法国——当时年轻的挪威数学家索菲斯正在法国漂泊。他操着带普鲁士口音的法语。法国人认定他是普鲁士奸细,把他投入监狱。由于法国战败,形势一片混乱。当索菲斯的法国朋友最终找到关他的牢房并成功地使他获释时,那是1877年,他正静居囚笼,搞出了新的数学发现——他秉承了伽罗华在监狱里做学问的风格,但希望把群论的方法推广到求解微分方程,结果他也成功了。但索菲斯一直很失望,因他的工作没得到世俗的承认,他曾经为此而苦恼……等他后来稍有地位,他竭尽他的能力,整理出版了他的同胞阿贝尔的文集,他在监狱里的时候,第一个想到的人,是伽罗华,第二个想到的人,正是阿贝尔。 李群理论的奠基,也为后来的量子力学和相对论的发展奠定了数学上的基础,这好像是一股潜伏在大洋深处的潜流,在缓慢流动。 外一篇伽罗华的死因考证,群论和组合数学 曾经也有人说他死于政治谋杀,总之愤怒青年伽罗华在政治上肯定只能算是一个无意义的炮灰,那位引起决斗的“风骚女人”,有人说是一位妓女,也有人说是一位政府密探、内奸,据最近的研究普遍认为她是伽罗华出狱后居住的旅店的医生的女儿——这个人物在历史上很隐秘,类似于我们后面要讲到的与薛定谔一起去滑雪的那个女子一样,姓名很难考证。伽罗华为了她主动挑起决斗。和伽罗华决斗的人是谁?伽罗华在遗书中说约他决斗的是两名“爱国者”。根据大仲马的回忆录,决斗者是当初被捕的19名军官之一德艾尔宾维尔。但是根据决斗几天后一家报纸的报道,与伽罗华决斗的是和他一起被捕的“人民之友社”成员、他的好友杜沙特雷。不管究竟是谁,这两人都是狂热的共和党人,也许不是政府安插在共和党人中的内奸——内奸名单曾在1848年被公开,这两人都不在其中。由于是朋友决斗,所以没有采取手枪对射的方式,而是采用“俄罗斯轮盘赌”,用枪口互相顶着对方开枪,其中只有一把枪装着子弹。因此伽罗华的决斗似乎不太可能是一场政治阴谋,而是由于一次恋爱事件。伽罗华之死被后人过度渲染,也形成了数学历史上少见的一段浪漫传奇,但无论如何,这死亡事件对伽罗华个人还是对科学发展而言,都是一场大悲剧。伽罗华如此轻生,也许与他因怀才不遇而厌世有关。他曾经两次报考被视为法国最高学府、大科学家云集的巴黎综合理工学院(该校当时的教授包括拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶、泊松、科里奥利这些在科学史上声名显赫的大科学家),却都落榜,第一次是由于没有做好考试准备,第二次是由于顶撞考官。不得已才去上较差的巴黎高等师范学校。从此他就有了受迫害妄想。 再说回到群论。总之,所谓的群论,就是把很多操作看成是群里面的元素,比如下象棋,棋手每走一步棋,棋盘上的棋子的分布就会发生改变,那么棋手每走一步棋就是一个操作,这些操作就在象棋的法则下构成了一个群;再比如,玩过魔方的人应该会有所体会,如果你把魔方的每一个面涂上数字,那么你每转动一次魔方,就是一个操作,这些操作很有可能会构成一个离散群。在量子力学中,人们为了研究晶体,处理那些有规则的多面体晶胞,也用到了同样的方法来研究它们的对称性。 群论的思想,起源于一些组合数学问题。人们在考虑一些数学问题甚至游戏的过程中,都可能会遇见对称性,这些对称性是很直观的。比如下图中的围棋放置办法,棋盘旋转90°以后是完全等价的。根据群论的办法,我们还可以求解以下问题。 问题: 9个围棋,4黑5白,放在一个3×3的棋盘顶点,做任何刚性变换后,分布不重合的算一种,问移动棋子后,有几种不等价的放置方式?(如下图算是一种方式) 围棋 解答: 以上问题可以转化为给3×3的格子染上颜色,4黑5白,做任何刚性变换后,分布不重合的算一种,有几种不等价的染色方式?首先要分析一下它的对称性,这个正方形共有8个对称操作,3个旋转,4个反射,再加一个不操作(即恒等操作,旋转0°)。 分别旋转90°,180°,270°的三个旋转对称操作 于是置换群G可以写成(群元e表示旋转0°,第2个群元(1793)(4862)(5)表示旋转90°的操作: 把原来的1号变成了7号,把原来的7号变成了9号,把原来的9号变成了3号,把原来的3号变成了1号;把原来的4号变成了8号,把原来的8号变成了6号,把原来的6号变成了2号,把原来的2号变成了4号;保持5号的位置不变……以此类推,就可以把整个群G用数学符号表达出来)。G=[]{e,(1793)(4862)(5),(1397)(2684)(5),(19)(73)(46)(28)(5), [](13)(46)(79)(2)(5)(8),(17)(28)(39)(4)(5)(6), [](24)(73)(86)(1)(9)(5),(26)(19)(48)(3)(7)(5)}我们根据这个群G的性质可以求出,对4黑5白的围棋来讲,一共有23种不等价的放置方式。

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日出:量子力学与相对论
作者: 张轩中, 黄宇傲天
isbn: 7302339473
书名: 日出:量子力学与相对论
页数: 320
定价: 45元
出版社: 清华大学出版社
装帧: 平装
出版年: 2014-1-2