《一个定理的诞生》试读: 第1章 里昂,2008 年3 月23 日

周日下午1 点,教研所本应该没有人。但是,两个忙碌的数学家却留在这里。里昂高等师范学院三楼,我已经用了8 年的办公室中,一次私密的会晤正在进行。一项研究悄然展开。 我舒服地坐在沙发里,有力地敲击着大大的办公桌。我的手指就像蜘蛛腿一样展开——正如钢琴老师多年前教我的那样。 在我左边有一张独立的小桌子,在那儿可以完成一些需要使用计算机处理的工作。在我右边,一个大书柜装着数百本有关数学和物理学的书籍。在我后面,几层长架上整齐地堆放着成千上万页的论文复印本——这些论文写成的时候,学术出版物还没有电子版。架子上还摆放着很多学术书籍的翻印本。曾几何时,我微薄的薪金无法满足自己对书籍的渴求,只能一本本地影印。多年来被小心翼翼保存下来的草稿,足足有一米厚。堆积如山的笔记,是我花费大量时间参加学术报告的佐证。我面前的办公桌上摆着一台笔记本电脑,我给它起名叫“加斯帕尔”,以此纪念一位极具革命性的伟大数学家加斯帕尔•蒙日。电脑旁边摆放着一叠纸,纸上满满当当的是从四面八方汇集而来的数学符号。 我的同党名叫克莱蒙•穆奥,他看上去目光炯炯有神,手里拿着记号笔,站在我对面那个几乎占据整面墙的白板旁。 “跟我说说吧,为什么把我叫来?你有什么计划吗?你在电子邮件里没有细说……” “我回头看了我的‘老冤家’。这绝对是一个宏大的设想,关于非齐性玻尔兹曼方程的正则性。” “条件正则性(conditional regularity)?你想说,模去那些极小正则性的界?” “不,是无条件的。” “彻底无条件?!而不是在扰动框架内?你觉得我们准备好了?” “对,我又回到这个问题上,而且已经取得了不小的进展。我有些想法,但被卡住了。我把难点分解成好几个简化模型。可是,即便是最简单的模型,我也处理不了。我之前以为,可以用极大模原理做出一个证明。但行不通,所有方法都不奏效。我想跟你探讨一下。” “说吧,我听着呢。” 我详尽描述了自己的想法:我脑海中想象的结果、我的企图、无法串联起来的片段、无法建立起来的逻辑,以及一直桀骜难驯的玻尔兹曼方程。玻尔兹曼方程,正如我曾向一位记者说的那样,这是世界上最优美的方程!当我年纪尚轻,还在读博士的时候,我就陷入了对它的痴迷,并在读博士期间对其进行了全面研究。玻尔兹曼方程包罗万象:统计物理学、时间箭头*、流体力学、概率论、信息论、傅里叶分析等等。有人说,在这个世界上,没人比我更了解与玻尔兹曼方程相关的数学知识。 7 年前,我把克莱蒙带进了这个神秘的领域。当时,他刚开始在我的指导下做博士学位论文。克莱蒙贪婪地学习,他无疑是唯一读过我关于玻尔兹曼方程所有论著的人。如今,他已经成为一位受人尊敬的杰出科研工作者,能够独立地开展工作,对科研充满热情。 7 年前,我把他送上了数学研究的道路。今天,轮到我寻求他的帮助。我面临的是一个天大的难题,我独自一人根本无法处理。至少,我需要一个对相关理论了如指掌的人讲述一下自己付出的努力。 “我们先假设有碰擦碰撞(grazing collisions),如何?一个无截断(cutoff)的模型。这样一来,方程就类似一个分数扩散(fractional diffusion),当然是退化的,但仍然是一个扩散。而且,密度和温度一旦有界,我们就能采用一个考虑了非局部化效应的莫泽迭代格式。” “莫泽迭代格式?嗯……等等,我记一下。” “对,一个莫泽迭代格式。问题的关键是玻尔兹曼算子……的确,这个算子是双线性、非局部的,但它大体上依然是散度型,所以我们可以使用莫泽迭代格式。在这里,做一个非线性函数代换,提升幂次……事实上,除了温度,这还需要更多一点的条件,我们必须控制一些二阶矩矩阵。但是,核心仍是正定性。” “等一下,别太快。为什么光有温度条件还不够*?” 我又详细地解释。我们讨论、争辩。白板上布满了数学符号。克莱蒙想多了解一些关于正定性的细节。如何在不假设正则性界的情况下证明严格的正定性?这可能吗? “这没什么可吃惊的。你仔细想想就会发现,碰擦产生了下界,一个置信区域上的输运过程也会产生相同效应,这是我们期待的结果。除非运气真的很差,否则这两个效应应该是相互促进的。当年,伯恩特尝试解决这个问题的时候,他只开了个头。当然,很多人都试过,但 都没成功。不过,看上去还是有希望的。” “你确定在没有正则性的情况下,输运可以给出正定性吗?不过,如果没有碰擦,密度函数的输运并不能带来更多的正定性……” “没错,可如果我们对速度取平均,就会加强正定性……这有点像动力学平均引理(averaging lemmas)。但是,此处成立的原因不再是正则性,而是正定性。确实,没人从这个角度做过研究。这让我想起一件事……对了,两年前在普林斯顿,一位中国来的博士后向我提出过一个类似问题。比如在环面上设想一个输运方程,不加入任何正则性假设,在这一条件下求证空间密度会严格变成正。完全不用正则性条件!他知道在自由输运情况下怎么处理。或在更一般的情况下,对于一个很小的时间区间,他也能处理。而对于更大时间区间,他就被难住了。当时,我把他的问题转给别人,但始终没看到令人信服的答案。” “先等一下,怎么处理自由输运这个难缠的情况?” “自由输运”,这是对于理想气体的不规范称呼。在这种情况下,粒子之间没有相互作用。这是一个过分简化的模型,与实际情况相去甚远,但仍能让人从中学到不少东西。 “这个嘛……通过解的显示表达式,应该能做到。等等,我们试着重新证明一下。” 我们开始分头思考,尝试重建当年李东(音译)应该已做过的证明。这不是一个重要结果,仅仅是一个小小的练习。但是,也许透过理解这个小练习,我们能找到通往谜底的路。这就像一场小比赛。经过几分钟安静、匆忙的演算,我赢了。 “我想我证出来了。” 我走到白板前面讲解自己的证明,如同在课堂上阐述一道练习题的答案一样。 “把方程的解按照环面的复叠(replica)分解……在每一个分量上做变量代换……这儿会出来一个雅可比矩阵,再使用利普希茨正则性条件……最终,会发现这里有一个1=t 速度的收敛。速度挺慢,但是听上去不错。” “什么?也就是说,你没用正则化。收敛是通过平均化…… 平均化……” 在布满了演算结果的白板前,克莱蒙边思考、边大声地自言自语。突然,他灵光一闪,兴奋地指着白板说:“我们应该看看这能不能对朗道阻尼问题有帮助!” 我一下愣住了。三秒钟,没有任何声音。我隐约预感到,一些重要的东西正浮出水面。 我让克莱蒙讲得详细点,他却说不清了。克莱蒙在原地打转,支吾地解释说,这个证明让他想起3 年前在美国东海岸布朗大学,与另一位名叫郭岩的华裔数学家的谈话。 “在朗道阻尼中,人们试图寻找某种弛豫(relaxation),使方程具有时间可逆性……” “是,是,我知道。但相互作用难道不起作用么?我们并不处在弗拉索夫情况下,那里只有自由输运!” “也许相互作用的确有影响,没错……而且,收敛应该是指数阶的。你觉得1=t 达到最优了?” “看上去没错,不是吗?” “但如果有更高的正则性条件呢?收敛难道不会更快?” “嗯……” 我低沉地哼了一声——这一声包含着怀疑与专注,关切与失望。 此后又是一阵沉默,我们的眼睛紧紧地盯着白板,嘴唇也紧紧地绷着。之后,我们又开始交谈……传说中神秘的朗道阻尼确实令人兴奋。然而,它和我们最初的计划却没有半点关系。几分钟后,我们的话题集中到其他的东西上。讨论进行了很久。二人穿针走线一般,由一个数学问题引向另一个数学问题。我们记下笔记、辩论、激烈争执、不断学习,最终制定了一个研究计划。当我们分开的时候,朗道阻尼仍然成为长长的“家庭作业”清单中的一项。 玻尔兹曼方程 发现于1870 年左右,刻画了由1018 数量级粒子组成的稀薄气体的演化。这些粒子之间相互碰撞。我们用一个函数f(t; x; v) 来表示粒子的空间位置和速度的统计分布:它表示在t 时刻,位置在x (附近)且速度在v(附近)的粒子数密度。 路德维希•玻尔兹曼发现了统计意义下“熵”(或称气体无序度)的表达式: 凭借这一方程,玻尔兹曼证明了从任何一个给定初始状态出发,熵只能随着时间增大,而永远不可能减小。形象地讲,气体一旦开始演化,就会自发变得越来越无序,而且这个过程是不可逆的。 通过证明熵的增长性,玻尔兹曼重建了一个数十年前已通过实验建立的物理学定律——热力学第二定律。尽管该定律早已被发现,但是玻尔兹曼还是在概念层面上做出了卓越贡献。首先,他从数学角度证明了一个通过实验建立起来的经验定律;其次,他赋予熵这个神秘概念一个极具前景的数学解释;最后,他调和了不可预测、混沌、可逆的微观物理学与可预测、稳定、不可逆的宏观物理学之间的矛盾。这些成就令玻尔兹曼在理论物理学的圣殿中享有崇高地位,也让哲学家和认识论学者对他念念不忘。 随后,玻尔兹曼定义了一个统计系统的平衡态,即熵取到极大值的状态,为统计物理学开辟了一个广阔的研究领域——平衡态统计物理学。所谓平衡态就是最无序的状态,也是最自然的状态。 但是,年轻有为的玻尔兹曼在晚年却痛苦万状,并在1906年结束了自己的生命。他在气体理论方面的成果从来没有过时。沉寂一段时间之后,其相关著述都被誉为19世纪最重要的科学文献。然而,一直以来,玻尔兹曼的预言尽管已被实验确证,却仍需要更加完备的数学论证。而其中缺少的一块拼图就是关于玻尔兹曼方程解的正则性的研究。尽管这一谜题长久以来悬而未决——或许正因为难解之谜本身的魅力,玻尔兹曼方程至今仍是一个非常活跃的理论研究领域,吸引着众多来自世界各地的数学家、物理学家和工程师。稀薄气体动力学大会和同类的学术会议上永远座无虚席。
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一个定理的诞生
作者: [法]塞德里克·维拉尼 著, [法]克劳德·龚达尔 绘
副标题: 我与菲尔茨奖的一千个日夜
原作名: Théorème vivant
isbn: 7115407045
书名: 一个定理的诞生
页数: 238
译者: 马跃, 杨苑艺
定价: 39.00元
出版社: 人民邮电出版社
装帧: 平装
出版年: 2015-11