神奇的小册子

这个小册子非常神奇，虽然并没有专门去按章节读过，但是学习中零零散散的会找这本书作参考，某天竟发现基本上这本书的脚脚落落基本都被我看过了

这就是它一个神奇的地方了，不知道是不是我的学习路线和这本书不谋而合。其他的书厚厚的一本，却时常找不到我想要的内容，而这本小册子对我来说却包罗万象。

举个例子，有天我在想如何求出所有anisotropic universal quadratic form over Q，对于dim=2,3的情况，如果不包含hyperplane的时候，可以证明是没法做到universal的. 这个证明相对容易，但更加具体地，哪些值是没法被表示出来的呢？我在很多二次型的专著上都找不到这些结果（虽然这些结果是很trivial的），但是Serre薄薄的小册子又魔力般的有这个问题的答案.

关于p-adic fields的介绍，也是十分神奇. 其实就短短几页的定义和性质，某些书对于这些东西可以写上上百页，什么解析上Q的completion怎么搞，代数上inverse limit怎么搞，为什么equivalent，怎么搞expansion...不是说这些东西不重要，只是这么庞大的理论要是没有落地的结果，学这些的motivation又在哪里呢？

而Serre这本书的处理，两页简洁的inverse limit的定义，然后直接上Hensal lemma类比Newton切线法，导出结果Qp上有解和mod p有解在某种情况下是一致的. 这也是最早Hensal对Legendre theorem的local solution的表述为之振奋的原因。这样一来就自然引出了Hasse-Minkowski theorem.

Serre的证明也是神奇的，可以说和别的教材颇有不同，设一个homomorphism，搞一个exact sequence，弄个commutative diagram，经常boom一下就搞了出来，弄的我经常有“啥？还能这么证”的感觉. 其实仔细想想有时候就是个isomorphism theorem，Serre也会写成exact sequence的方式，可能这种思维方式比较高级吧。。

解析的部分，虽然模形式还没完全搞明白，但还是感觉Serre这么几页纸的价值非常之大. 比如一开始的fundamental domain，要证明ST是generator，Serre先给的那个theorem其实是个几何上非常intuitive的定理，再通过这种几何上非常好的观感去证明ST能generate每一个点，整个定理就变得非常的直白

举了几个浅显的例子，无法说明此书的精髓，Serre这书十分十分简洁，模形式中Weierstrass function，椭圆曲线的联系竟然就写了几行，亏他忍得住，这要放Silverman的书里怕是几十页没了，总的来说这书非常非常好，Serre似乎很清楚这个程度的很清楚学生知道什么，不知道什么。相比之下，Weil也写过一本数论入门书Basic number theory。。就有点不太适合学生了。Serre是个大数学家，但是这书一点没有什么装逼的意思，实属难得。

当然这本书还是入门级别的，大多的东西也是点到即止，其实就Serre介绍的几个topic，往深了挖都有百倍的内容，前半本其实最终的目的就是为了分类一些二次型，可是到最后我记得连Witt ring都没有提到，而这大概是是讲二次型代数理论的专著的第一章内容吧...（比如TYLam）