《虚数的故事》笔记：虚数与三次方程

二次方程 1）古希腊数学家丢番图，为求解某个几何问题，建立一元二次方程，求解过程中遇到负数开平方（虚数）。他认为该解无意义，方程对应的几何问题不存在实际答案。 2）后来，印度数学家也遇到类似的问题，与丢番图持同样观点。 三次方程 3）后来，意大利一个叫费罗的数学家发现了某类特殊三次方程的解法。一个叫塔尔塔利亚的数学家发现了另一类特殊三次方程的解法，且独立发现了费罗的解法。再后来，一个叫卡尔当的数学家从塔尔塔利亚那里获得了这些特殊三次方程的解法，进一步发现了一般三次方程的解法，即三次方程求根公式。 三次方程求根公式，是如何推导出来的呢？其核心思想是，通过换元法将三次方程化成二次方程。思想虽简单，但如何换，却需要天才和灵感。换得好，三次变二次，换得不好，三次变四次，具体换法不细谈，因为我也没记住。 三次方程求根公式，到底长什么样呢？具体不细谈，我也没记住。主要特征是，可能出现负数开平方项，即虚数项。这好像没什么可大惊小怪的，因为二次方程求根公式中也可能出现虚数项。我们可以乐观且自然地推测，像二次方程中一样，这些含有虚数项的解是没有任何实际意义的（不是实际存在的数，实数。当然，那时的人们认为有实际意义的数还只包括正实数，负数都是没意义或没必要的，更别说虚数），方程对应的实际问题不存在实际解决方案。 三次方程求根公式，与二次方程求根公式相比，有什么不同呢？最大的不同是，二次方程求根公式中只可能有一个虚数项，三次方程求根公式中可能有两个虚数项。这好像也没什么可大惊小怪的，毕竟三次方程比二次方程多一次，所以虚数项多一项也正常。说不定四次方程的求根公式中有三个虚数项，五次方程的求根公式中有四个虚数项呢。有多少个虚数项不重要，重要的是，有虚数项的解都是没有实际意义的。 以上对三次方程求根公式中虚数项的解释，完全承袭自二次方程：虚数是不可能存的，有虚数出现的解是不合实际的。卡尔当在发现该公式之初，也许也是这么想的，这十分自然，没有什么可怀疑的。卡尔当接下来要做的事情是，尽量多地验证他的公式是全能的：所有三次方程都可以用这个公式求解，如果公式中没有虚数则该解正确，如果公式中有虚数则说明方程无解。 卡尔当发现有一个方程明显有实根（卡尔当应该是提前设定一个根，再根据这个根编造的方程），但用他的公式去解的话，出现了两项虚数。这难道说明卡尔当的公式不是万能的吗？卡尔当虽然试图承认虚数运算法则，但仍然没有解决这个问题，他称这种方程为不可约方程。 后来，卡尔当的追随者邦贝利，在研究这个问题时有了一个突破性的猜想：这个出现了两个虚数项的式子，实际上表示的是一个实数，因为这两个虚数项最后会相互抵消，那今天所说的共轭复数。根据这个猜想，他化简出了这个解，虚数项真的消失了，得到了他希望的实根。

所以，在二次方程中可以不承认虚数而不会丢失任何实根，但在三次方程中借助虚数可以解出实根。数学家开始大胆地承认虚数，开始摆弄它，研究它，最后建定属于它的封地。