《逻辑人生：哥德尔传》研究性摘要I
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哥德尔是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，“20世纪最伟大的数学家”（《时代》杂志评）。
不完全性定理、哥德尔宇宙、哲学
文本出处： [美]约翰·L·卡斯蒂（John L. Casti），[奥]维尔纳·德波利（Werner DePauli）：《逻辑人生：哥德尔传》，刘晓力、叶闯译，上海科技教育出版社2008年
一、基础逻辑概念
1. 形式系统的构成：抽象符号的字母表；合式（well-formalized）语法；公理集合；逻辑推理规则。（pp.66）
2.可靠性：对任意一个逻辑表达式，如果它是可证的，那么它就是逻辑有效的（真的）。简言之，所有的定理都是逻辑有效式（真理）。
3.完全性：（与可靠性相反）对任意一个逻辑表达式，如果它是逻辑有效的，那么它就是可证的。简言之，所有的逻辑有效式都是定理。
4.一致性：对任意一个逻辑表达式，它和它的否定不能都是可证的（定理）。希尔伯特认为一致性是所有类型公理系统的必要条件。
5.可判定性：对任意一个逻辑表达式，要么它是可证的，要么它的否定是可证的。
6.有穷可描述：“不仅系统之公理和规则的数量和长度都应在有穷步骤内可构造，而且系统之每一可证陈述（每一个定理）都应在有穷步骤内可证明。”（pp.24-5）
7.哥德尔化（Godelization）：将数论（即算术）方法应用于逻辑，以自然数表达逻辑和数学命题。（pp.41）
二、希尔伯特纲领
1.问题缘起
（1）多个一致的几何系统：19世纪上半叶，数学家发现在欧式几何之外，存在着其他一致的几何系统，统称为“非欧几何”，它们拥有与欧式几何不同的公理和定理。（涉及完全性、可靠性和一致性三者间的关系。）
（2）逻辑悖论：“理发师悖论”等逻辑悖论挑战了人们关于逻辑的一致性和可判定性的信念。希尔伯特认为，悖论来自于自然语言在语义上的模糊性。
2.纲领内容
“希尔伯特纲领其实相当于企图发现一个免除了内在矛盾，并且其定理完全符合全部算数的真事实的形式系统。”（pp.24）
考虑到数学的一致性问题可以还原为算术的一致性问题，考虑到全部数学可以归结为算术，希尔伯特的具体做法是，为全部数学构建一个纯句法的、一致的形式系统，然后通过小心的人工解释（相当于编写一部词典），使句法的形式世界与语义的数学世界相匹配，从而一方面保证数学的可靠性和完全性，另一方面规避由自然语言的模糊性导致的悖论因素，保证数学的可判定性。
表达算术理论的形式系统应具有如下条件：（1）有穷可描述的；（2）完全的；（3）一致的；（4）足以表达对自然数可以作的全部陈述。（pp.24-5）
3.结果：哥德尔定理表明希尔伯特纲领是失败的，对任一足以表达算术的一致的形式系统而言，都存在着它不可证的算术真理（不完全），并且在它内部均可构造出悖论性的自指陈述。
三、哥德尔不完全性定理
1.表述
（1）非形式化版本：算术是不可完全形式化的。（pp.25）
（2）形式逻辑版本：对于算术的任何一致的形式化，都存在着在那个形式系统内不可证明的算术真理。（pp.35）——具体来说，对于任何一致的、声称要判定所有算术陈述，即证明或否证它们的形式系统F，都存在一个算术命题，在该系统内既不能证明也不能否证。因此，形式系统F是不完全的。（pp.80）
[说明：前n个整数之和的公式必须用数学归纳法来证明。由于数学归纳法是一种非构造性的、超穷的推导原则，在一些直觉主义的形式逻辑系统中不被允许，因此，在那些系统中，前n个整数之和的公式对一般的n是不可证的，尽管此公式从系统外部来看是真的。当然，不可证的数学真理不仅限于直觉主义的形式系统中。]
（3）等价的图灵停机定理：停机问题不可解。具体来说，对于任何声称要判定所有图灵机程序的是否停机的图灵机程序H，都存在一个程序P和输入I，使程序H不能判定处理数据I时，P是否会停机。（pp.80）
（4）计算机程序版本：存在一个计算机程序P*，使得：如果P是一个正确程序（即：永远不会列举出算术的假命题的程序），那么当应用于P时，P*产生一个被P遗漏的真理。（pp.123）[说明：在这里。“程序的正确性”和“系统的可靠性”两个概念是等价的。]
（5）丢番图方程版本：存在一个没有解的丢番图方程——但没有数学理论能够证明这一点。（涉及希尔伯特第十问题）
（6）掷骰子版本：存在一个不可计算数Ω，它的二进制数对应于无穷多个能行随机的算术事实。（pp.131）
2.哥德尔证明中的主要步骤（pp.35）
（1）哥德尔配数：创造一种编码程序，把《数学原理》中的每一个逻辑公式和证明序列翻译为关于自然数的一个“镜像”陈述。
（2）爱皮梅尼悖论（Epimenides Paradox，或说谎者悖论（Liar’s Paradox））：以“可证性”概念代替（不可形式化的）“真”概念，然后把爱皮梅尼悖论翻译为论断“这个陈述是不可证的”。[说明：塔尔斯基（Tarski）证明，真概念不可能在涉及真的形式系统内被把握。]
（3）哥德尔句：证明语句“这个陈述是不可证的”有一个算术中的对应陈述，即在每一个可构想的算术形式化中它的对应的哥德尔句G。（需要使用康托尔对角线 (Cantor’s diagonal argument)方法。）
（4）不完全性：证明如果该形式系统是一致的，则此哥德尔句G必定是真的。
（5）不可完全性附则：证明即使补充的公理加进来构成了新的系统，使得这个G在其中可证，含有补充公理的新系统仍有它自己的不可证的哥德尔句。
（6）一致性：构造一个算术陈述，它断定“算术是一致的”。证明这个算术陈述是不可证的，故此证明，算术作为一个形式系统太弱，不足以证明它自己的一致性。
3.哥德尔配数
（1）核心想法
一个对象可以以两种方式来看待，一种方式是把该对象看作是一个有意义的真实对象，另一种方式则是把它看作是一个纯粹语法的对象。后一种看待方式使得一个对象述说自身成为可能，因为我们可以用该对象内的成分来表达关于这个对象的性质；在数学中，这意味着我们可以用一个数学对象来表达关于它自身的元数学性质。
希尔伯特纲领偏向于前一种看待方式，它着重于把每一个数学分支的形式化（形式系统）都看成是一个有意义的、已被解释的数学对象，并在系统外部用元数学的方法加以研究，从而确立了数学和元数学的界限。哥德尔却要打破数学与元数学的界限。他更偏向于后一种看待数学形式系统的方式，即暂时搁置对一个形式系统的语义解释，把该系统重新看作是一个未被解释的、只具有语法性质的对象，使得我们可以用该系统内的陈述/符号串来镜像反映在系统之外的元数学陈述（也就是表达关于该系统的性质），从而实现形式系统言说其自身。
哥德尔配数直接针对的是《数学原理》中可表达全部古典数学的形式系统PM。它通过“使用算术语言本身对算术中的所有可能的陈述进行了编码”（pp.29），从而成功地利用了自然数本身来镜像反映关于自然数之间关系的所有陈述，也就是实现了算术言说其自身。
（2）具体操作
PM内的所有逻辑表达式和可证性关系都可以用基本逻辑符号联结逻辑变元来写出。于是，哥德尔配数对每一个逻辑符号和变元都赋予了一个自然数编码。为了区分不同语义层次的逻辑表达式，哥德尔配数还在编码上对不同层次的变元做了区分，例如，数值变元的编码是大于10的素数，语句变元的编码是大于10的素数的平方，谓词变元的编码是大于10的素数的立方。（见pp.31）
给定以上编码，每一个逻辑表达式都可以被表示为唯一一个哥德尔数。对一个有n个符号的逻辑表达式而言，哥德尔的做法是找出头n个素数，按从小到大的次序依次对应从左到右的每一个表达式中的符号，然后把每个符号的哥德尔数当作对应素数的幂，最后把这些带有幂次的素数相乘，所得的乘积即唯一地确定了该逻辑表达式的哥德尔数。
4.自指悖论
（1）悖论种种：
A.说谎者悖论：“这个陈述是错的。”该陈述是真是假？
B.罗马教堂的石雕版本：根据传说，只要说一句假话，把手伸进石雕的嘴的人就不可能把手抽回来。那么，“我永远不可能抽出我的手”这句话是真是假？
C.万能真理机UTM（Universal Truth Machine）版本：UTM打印并且只打印真陈述。那么，陈述“UTM永远不可能打印出这个陈述”是否可被UTM打印出来？
（2）可证性版本：“这个陈述是不可证的。”该陈述是否可证？事实上，这个陈述要构成一个自指悖论，需要表达它的形式系统具有完全性。因此，为了避免悖论，形式系统只能是不完全的。
5.推论：考虑到对任何一个足以表达算术的形式系统，都存在不可证的真理，而这样的形式系统又都是有穷可描述的，因此我们可以得到一个推论——真理不是可以有穷描述的。
四、哥德尔的其他数学工作
1.算法（algorithm）：“哥德尔是第一个使用递归函数概念更准确地定义了算法概念的人。”（pp.55）哥德尔的算法定义构成了可计算性原则和图灵-丘奇论题的基础。
2.集合论：研究选择公理和连续统假设等问题。
（1）选择公理：给定由集合A,B,C,…所组成的类，在这个集的序列中（可能是无穷的）的每一个集中“选取”一个元素而构成一个新集是可能的。（pp.59）
（2）连续统假设：哥德尔的工作详情见我的《逻辑的引擎》摘要。
3.逻辑：哥德尔实质性地促进了波斯特（Emil Post，提出了类似于图灵机可计算的概念）和丘奇（Alonzo Church）开创的美国逻辑学派。他的其他逻辑工作同样参见我的《引擎》摘要。
五、哥德尔宇宙
1.狭义相对论（STR）
（1）基础：真空中的光速不变原理。“特别地，这意味着每一个观察者——无论他或她相对于其他观察者是否有相对运动——都将测得相同的速度。”（pp.105）
（2）推论：时间本身的相对性和时间延缓（time dilation）现象。相对于静止的观察者，一个运动的观察者如果运动得足够快，那么他本身经历的时间会变慢。基本粒子以接近光速的速度运动时也会发生这种现象。
2.广义相对论（GTR）
2.1.核心假定：事件必须在一个四维时空连续统（通常记作spacetime）中展开。（pp.106）
（1）赖兴巴赫（Hans Reichenbach）的时间隐喻：作为第四维度的时间可以比作物理对象的颜色。两个四维物理对象，仅当它们的颜色相同，空间位置邻近或相同时，才会相互作用。
（2）四维时空的几何结构：
从总体上看，四维时空遵循被称为伪黎曼几何（pseudo-Riemannian geometry）的非欧几何学，其时间和空间都是弯曲而非平直的。但当时空尺度比较小时，时间和空间的弯曲程度小到接近于平直，此时就可以用通常描述平直几何的欧式几何加以处理。
根据伪黎曼几何，两点之间的最短距离不是直线线段，而是一条被称为“测地线”（geodesic）的曲线段。
2.2.引力
（1）引力的本质（从STR到GTR的关键论点）：引力是时空连续统的一种弯曲。爱因斯坦的合作者、《物理学的进化》一书的作者之一的英费尔德（Leopold Infeld）持有相同的观点：四维时空的突出几何特征就是引力场，引力和几何形状是等价的，二者取决于不同物质的分布和运动速度。
（2）引力和惯性定律：在时空连续统中，按照引力定律运动的物体只是沿着测地线（两点之间最短距离）在运动。（pp.107）
（3）在有加速运动（相对于一个静止的观察者）参考系，而没有STR匀速运动参考系的时空小范围内，发生的事件可以看作是在引力场中发生的一个相同事件，二者难以区分。（pp.106）
2.3.光在四维时空中的传播
（1）光锥（light core）：我们用三维直角坐标系来表达四维时空（取消一个空间维度），在这个坐标系中，通常的三维空间被压缩成一个平面。光在四维时空中是以光子的形式，从一个光点开始传播的。其传播范围表现在三维坐标系上，就形成了一对顶点相对的圆锥体。这样两个圆锥体都被称为光锥，它们的顶点表示光点，其中上半个光锥是将来光锥，表示光从光点向将来的传播，下半个光锥是过去光锥，表示光从光点到过去的传播。
（2）零锥（null core）：由于光速不变，光的传播路径与坐标轴的三条轴都呈45度角，并最终形成了光锥的外表面，称为零锥。零锥表示光的传播所能及的最大范围。
（3）类时曲线：零锥上从顶点到边缘的连线被称为类时曲线。如果点P和点Q能通过一条类时曲线连接，那么信号就能从其中一点传递到另一点，并且由于从局部来看信号传递是单方向的，这就确定了“时空连续统中各点的因果联系”（pp.109）。
2.4.世界线（world line）
类时曲线其实是世界线的一种，即时间世界线。世界线是点物质在四维时空中的运动轨迹。初始点物质（恒星和星系）的运动轨迹则被称为“物质线”（matter line）。需要注意的是，“物质线是有时间顺序的；它们有一个良定义的先后相继的概念。”（pp.110）
然而，初始点物质的运动创造了一个强引力场，影响了全局的时空结构，以至于从全局来看，类时曲线和物质线均有可能闭合，从而允许信息的双向传递，允许物理对象回到过去，这又相当于放弃了先后之分。
2.5.爱因斯坦的世界
爱因斯坦把四维时空描述为一个充满物质的柱面世界，在柱面世界中，过去光锥的首尾会在内部无穷次地自我交接（借用数学物理学家外尔[希尔伯特的学生？]的表述，pp.111），这会导致诸如“活人的鬼魂”（doppelgangers）和“自我遭遇”（self-encounters）的可能性，即一个物理对象回到过去，会碰到自己在过去的样子。
为了避免这种零锥首尾自我缠绕的情形，荷兰宇宙学家德西特（Jan de Sitter）给出了一个GTR方程的一个解，这个解把四维世界描述为一个不同于爱因斯坦设想的、双曲面的世界，零锥的首尾自我缠绕在其中不会发生。
3.哥德尔宇宙
（1）简要描述：哥德尔宇宙基于哥德尔于1949年找到的GTR场方程的一个新解。在由这个新解所构造的宇宙中，所有物质都是不可压缩的理想流体，而整个宇宙以不变的角速度绕一个固定坐标系旋转。这个宇宙一开始被描述为不膨胀的（1949），后来则被描述为膨胀的（1952）。
（2）回到过去：正如康德认为我们无法感知物自身（实在），以至于我们感知到的所有变化都与实在无关，而是一种由人类的特殊感知方式产生的错觉，在哥德尔的宇宙中，时间也是没有变化（客观流逝）的。具体来说，哥德尔宇宙允许闭合类时曲线的存在，因此时间没有先后之分，回到过去在物理上是可能的。然而，这样的闭合类时曲线都对应于高速运动，这就意味着为了获得回到过去所要求的巨大速度，我们需要借助极强动力推进的火箭。由于这样的火箭所消耗的能量过大（鲁佩茨伯格（Heinz Rupertsberger）：相当于整个地球的能量），因此在当下回到过去还是不可能的。
（3）因果性问题
回到过去的物理可能性引发了一些著名的时间旅行悖论（time travel paradoxes），这些悖论均与宇宙的因果结构和反因果行为（acausal behaviors，从果到因的行为）有关。
霍金（Stephen Hawking）在1963年定义了“稳定因果性”（stable causality）的概念，这个概念将回到过去的可能性和反因果行为排除于宇宙的因果结构之外：
“当一个宇宙不存在从良定义的初始点形成的封闭类时线散开的光锥，则称这个宇宙为因果关联的（causal）。”（pp.111）
尽管没有什么物理学理由拒斥反因果行为，但 “仅当结果（result）没有破坏它自身的原因（cause）时，干涉因果链才是可能的”（pp.112）。这就表示，即使反因果行为确实存在，回到过去的旅行可以以某种方式“干涉”过去，但它们不可能真正改变过去。在这个意义上，回到过去的旅行是超因果的，因而时间旅行悖论不会真正成立。
（4）奇点问题
哥德尔的GTR方程解导致了宇宙论模型中奇点的研究。20世纪70年代，霍金和彭罗斯提出了“奇点理论”（singularity theory），奇点可能导致黑洞（black hole）或宇宙的始点——“大爆炸”（Big Bang），而奇点是可以由一条无限远并且自我封闭的时空曲线表示的。（pp.111-2）
六、哥德尔与哲学
1.脉络梳理：马赫（Ernst Mach）、玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）和早期维特根斯坦的哲学和科学观念，以及数理逻辑在20世纪的新发展，共同推动了维也纳学派的建立和发展。作为维也纳学派的一员，哥德尔参加了许多学派的活动，但就其哲学思想来说是迥异于学派的主流观点的。
2.数理逻辑的新发展
（1）弗雷格的形式化。
（2）马赫的科学语言批判：对物理学进行概念分析，批判了古典牛顿力学的主要概念和观点，例如绝对时空的概念和惯性不变性原理，为爱因斯坦的相对论铺平了道路。（马赫是一个新实证主义者，其思想影响了20世纪初德奥的学术讨论。）
（3）毛特纳（Fritz Mauthner）的唯名论的语言和社会批判：认为语言学唯心论（实在论）是权力滥用的主要基础之一，并导致了错误的科学分析，因此反对其关于一般概念总是表达实在的观点。
（4）罗素在《数学原理》中对皮亚诺（Peano）思想的阐发（逻辑主义）。
3.玻尔兹曼
（1）概率统计方法：玻尔兹曼把这一方法提升为物理学的一般分析方法，使得我们得以处理大量不同的要素，“考察无穷总体对近孤立的子系所组成的系统的总体影响”（pp.46）。他对这一方法的第一个应用即是他的熵原理公式。（概率统计方法在量子力学和对数据库和其他软件的设计中起到了重要作用。）
（2）原子论：所有物质都由基本粒子——原子构成。
（3）科学模型观（科学反实在论）：科学并不直接表示自然实在本身，而只是提供关于自然的模型。这些模型会随理论的变化而变化，但它们必须满足这些条件：无逻辑矛盾；与实验数据一致（服从经验审查）；信息量尽可能大；简单（最小冗余）。
4.早期维特根斯坦（《逻辑哲学论》）
4.1.语言图像论
（1）图像的本质：图像与实在的对象之间存在表达的关系，这种关系有时必须被直接理解，否则可能导致无穷倒退（一幅图像的表达需要借助另一幅图像的表达来说明，另一幅图像的表达又要借助其他图像的表达加以说明，如此可至无穷）。
（2）同构性断言（主要断言）：“在语言的逻辑结构和它所断定的事实结构之间，必定存在某种共同的东西。”（pp.48）这一断言也构成了语言意义的基础，但它不能被所在的语言“说出”，而只能被“显示”。
（3）同构性断言的推论：
一方面，实在（reality）是符合逻辑的，因此不会自相矛盾。
另一方面，逻辑使思想和语言表达世界成为可能，因而是描述实在的必要条件。（然而，逻辑并不是描述实在的充分条件：逻辑命题本身只能揭示世界中的可能状态，不能描述世界中的实际状态。）
（4）语言作为图像：根据同构性断言，语言陈述也像通常的图画一样表达着世界中的对象。“命题形式中的世界图像与世界本身的实际状态一一对应。”（pp.49）一个语言陈述有意义，当且仅当在我们约定的语法语境下，它具有逻辑结构，并据此表达世界中的某个状态。
（5）论证过程（pp.48-9）：
（a）世界存在。
（b）我们想用某种语言（科学的、数学的或其他）去描述它。
（c）存在一个问题：我们关于世界所说的（即对世界的描述）是否符合世界的真实存在方式？
（d）我们想知道对世界的描述和世界之间的符合关系的真实性质。
（e）然而，对符合关系的描述会导致无穷后退（描述的描述的描述……）。为了避免这一点，我们只能试图显示而非描述那个符合关系。[图像论的同构性断言：“凡不可说者，我们必须保持沉默。”——《逻辑哲学论》结语]
4.2.数学哲学：“我的语言的界限意味着我的世界的界限。”（pp.50）
（1）实在的数学对象：仅限于可用数学形式语言表述的实体。
（2）数学真理：可通过形式化的数学语言（谓词演算的语言）达到所有数学真理。（可靠性+完全性）
[说明：这种观点最终被哥德尔定理驳斥。]
5.维也纳学派
5.1.主要目标：融合马赫的经验主义（实证主义）和逻辑，考察语言、世界和科学所构成的三角关系。1929年，学派发表了宣言《科学的世界观》。
5.2.组织概况
（1）主要成员：哈恩（Hans Hahn，奠基人之一），石里克（Moritz Schlick，领袖），门格尔（Karl Menger，集合论专家），弗兰克（Philipp Frank），纽拉特（Otto Neurath,学派凝聚力，学派中的自由派的领袖，追求推动社会变化），卡尔纳普（Rudolf Carnap，最激进成员，认为所有哲学问题都可还原为语言问题），费格尔（Herbert Feigl，数学家），克拉夫特（Viktor Kraft），考夫曼（Felix Kaufmann，法学家），魏斯曼（Friedrich Waismann，数学家），齐尔泽尔（Edgar Zilsel），哥德尔，等等。
（2）访问者：艾耶尔（Alfred Ayer），亨普尔（Carl Hempel），蒯因（William van Orman Quine），等等。
（3）外围讨论组：以贡珀茨（Heinrich Gomperz，哲学家、历史学家）、冯·米泽斯（Richard von Mises，物理学家）、波普尔和维特根斯坦（早期）为核心。
5.3.哲学观点
（1）意义的可证实性（verifiability）标准：命题的意义在于证实它的方法/算法/程序。例如，“黄的”（yellow）一词的意义等价于有关它的证明程序的陈述。这一标准构成了逻辑实证主义的思想核心。
（2）物理主义还原论：人类所有的认知事业都可以统一并还原为物理学。纽拉特和卡尔纳普提出了更激进的还原论观点（意义的还原）：每一个（有意义的）命题必须可被翻译为物理语言。
（3）数学是“语言的句法”（为卡尔纳普特别坚持）：对数学采取形式句法解释，并认为数学中唯一有意义的概念就是形式的“可证性”的概念。[说明：这种观点最终被哥德尔定理驳斥。]
（4）拒斥形而上学：认为传统哲学至多是“词语的音乐”和“概念的诗歌”，坚持将形而上学的命题和真正科学的命题区分开（借助可证实性标准）。（pp.46）
6.后期维特根斯坦（《哲学研究》）
（1）语言分析：从早期的数学分析转向对游戏和生活形式的社会文化分析。[备注：霍桂恒认为语言游戏就是一个微型的社会工程。]
（2）语言不能把握世界上的全部东西，句法不能完全取代语义学。（pp.8）[说明：后期维特吸收了哥德尔定理的成果，放弃了其早期的语言图像论。]
7.哥德尔的哲学观
7.1.哥德尔的数学哲学兴趣：“形式逻辑系统的公理结构及其分析，还有上述系统的语境（空间与时间），可用于任意集的普遍概念，以及人们以‘证明’所以为的东西。”（pp.60）
7.2.数学和科学中的预言和解释的基本问题
问题（1）：什么是数学证明的限度？（证明与真理之对比）
问题（2）：数学证明“证明”了什么？（数学实在）
哥德尔定理之所以是“20世纪最深刻、最具影响力的哲学成果”（pp.13），正是在于它对这个两个问题给出的出乎意料的回答触及了预言和解释的核心。
7.3.哥德尔定理的哲学涵义：“逻辑悲观主义”？
（1）哥德尔定理在数学领域中则揭示了逻辑和数学语言的限度，而在一般的意义上，它表明了世界和思想比语言更复杂（因此更强）
“在语言内以及通过语言可证明的，比人的思想能力所及的要少，而且，也比世界上可能有的要少（要弱）。”一方面，语言不能证明所有关于世界的真理。另一方面，尽管语言有时比思想更精确，但其句法也不允许重建思想中所有可想象的模型。（pp.51）
（2）逻辑理性是有限的，但人的心智（mind）是无限的：
“人类是不能形式化（机械化）所有数学直觉的。即如果我们能够成功地形式化它的一部分，这个事实就恰好需要一种新的直觉知识，例如，这种形式主义的一致性的知识。”（哥德尔原话，pp.134）
7.4.柏拉图主义的数学哲学
（1）本体论的实在论：数学对象（或“定量理论的对象”，见pp.132）是实在的，它们存在于时空之外。区别于（本体论的）直觉主义者[说明：数学对象存在仅当它在直觉中被构造]和构造主义，后两种理论认为数学对象是人的心智的发明物。
（2）认识论的直觉主义：数学对象是直观呈现的，可以被人的数学直观所把握。[说明：这种神秘的认识论也许部分地解释了哥德尔后来对ESP（超感官知觉）和各种神秘主义如瑜伽哲学的兴趣。]
（3）数学家的任务：发现而非发明数学对象及其性质。
（4）结论：“哥德尔的数学哲学是直觉主义的[注：认识论的]，但他的逻辑方法是形式主义的[说明：尽管形式主义否定柏拉图主义的本体论，但其方法论与柏拉图主义相似]，而他的智力构造却是逻辑主义的[疑惑：如何理解？]。”（pp.133）
7.5.元哲学：哲学是一种精确理论
为了澄清基本的形而上概念，我们需要把哲学当作一种精确理论。精确理论的目的是决定基本概念C，并发现C所满足的、符合直觉的公理A。哥德尔认为这个元哲学观念可以拓展为莱布尼茨的单子论。
7.6.“宗教哲学”
（1）来生是存在的：
①与作为全部科学基础的因果性原则（事件不仅仅是“发生”，每一个事件都有原因）紧密相关，哥德尔坚持一个类似于莱布尼茨充足理由律的哲学原则：“世界和世界中的万事万物都有意义或理由。”（pp.60）
②人是有意义的，人的意义在于潜能的实现。
③人的潜能却不能在一次生命中实现。
④因此，为了确保人的潜能最终得以实现，来生必定存在。
（2）上帝存在：
康德表明人格上帝（personal God）的存在不可证。
基于哈茨霍恩（Charles Hartshorne）的思想，哥德尔给出了一个逻辑上帝（logical God）的存在证明（利用了二阶模态逻辑）。
七、暂时的小结
1.关于实数：大多数实数都是不可定义的（因为可定义数与自然数一样多，《引擎》pp.148），不可计算的，和随机的。
2.等价性断言A（“=”表示“…与…等价”）：
图灵机/程序/算法 = 能行过程（图灵-丘奇论题） = 形式逻辑系统（图灵，判定问题） = 理论（所罗门诺夫，理论复杂性） = 丢番图方程（马佳舍维奇，第十问题）
3.等价性断言B：
哥德尔定理 = 希尔伯特判定问题不可解 = 停机问题不可解（图灵停机定理）= 希尔伯特第十问题不可解
