Modular forms

让研究生新生讨论用的一本书，个人读了第六章。 简单说一下。

Modular forms相关理论发展至今，已经是非常庞大了。 描述classical modular forms的若干书籍，除了Miyake的这本书， 另外还有 Iwaniec, Topics in classical automorphic forms； Diamond and Shurman, A First Course in Modular Forms 结合Miyake的这本一起说下

1. Diamond and Shurman, A First Course in Modular Forms 前半部分算是一个标准的first course，详细描述了modular forms等的定义和例子， 但后半部分主要是介绍modularity theorm, 介绍其跟elliptic curves over之间的联系。 显然后者才是重点。 因此这本书实际上更适合椭圆曲线方向，或者相关的算术几何方向的人。 2. Iwaniec， Topics in classical automorphic forms 适合解析数论专业的人读的一本书；但几乎所有的结论，都是通过很强的分析能力计算得到 （如double coset decomposition， inequivalent cusps for congruence subgroups等）。 如果是算力不强的解析数论新手，那这本书会是一个噩梦。

3. Miyake 可以说是唯一一本以Fuchsian groups为基准来构建modular forms的书, 写的非常详细，提供的background非常充足。 这是一本让人产生敬意的书： modular forms理论中，相关发展最成熟的是Hecke congruence subgroups， 因为其上的modular forms不但与elliptic curves关联， 同时其可以等价为对应的自守表示描述。 用Fuchsian群的基准来描述，并且描述得这么详细易懂，实在是太让人起敬了 ——我知道很棒，不过我用不到Fuchsian群啊……

PS： 书的第五章采用了现代的语言来处理modular forms——unit groups of quaternion algebra。部分的命题的证明直接指向了Weil的basic numer theory; 另外还需要再去补quaternion algebra的东西；这部分对于没学过代数数论的人来说很不友好。

PS2: 叶扬波老师报告中讲了一个趣事：当年A. Borel告诉他，Miyake的最后一章关于Eisenstein series的证明只对Full modular group的case 成立，对一般的Fuchsian groups不能简单的类比，因此证明是错的。