前 言

很多孩子从简单的英文字母书开始学习阅读。舒舒服服地坐在大人温暖的大腿上, 随着字母表的展开, 孩子们从“A 代表 alligator（鳄鱼）”到“Z 代表 zebra（斑马）”, 静静地聆听着。这样的书也许不是什么伟大的文学著作, 却是教孩子认识字母、词汇和语言的有效启蒙读物。

效仿孩子们的这些字母读物, 本书按字母 A 到 Z 的顺序组织了一系列小短文, 以这种形式来尝试解释数学的基本原理。不过, 本书的内容相对要深奥一些, D 在这里代表 differential calculus（微分学）而不是 doggie（小狗）, 因而, 是不是坐在温暖的腿上也就无所谓了。但是,按照字母顺序周游知识世界的基本思想还是一致的。

这样的组织方式要求极其严格, 读者需要一页一页从头读到尾, 但数学原理毕竟不可能依照拉丁字母的顺序展开它的逻辑进程。因此, 有时候章与章之间的衔接会有些生硬。另外, 某些字母可能包含很多题材, 而有些字母的题材却相当地生僻。这种状况在孩子们的字母读本中也会出现, 比如“ C 代表 cat（猫）”而轮到 X 却是“X 代表 xenurus（犰狳）”。读者会发现, 有些话题是硬塞进来的, 很像把 16 码的大脚硬生生地挤进 8 码的小靴子里。设计一个与字母顺序一致的主题顺序,确实是对逻辑组织能力的一个不小的挑战。

本书从算术这个（看似）简单的主题开始。后面章节依次探讨各个主题, 这些主题可能会有所重复, 而不同的主题也常常交织在一起。有时候, 前后相继的几章会讨论同一个领域的问题, 例如第 G、第 H、第 I 这三章讨论的是几何, 而第 K 章和第 L 章讲述的是 17 世纪牛顿与莱布尼茨这两个死对头的故事。有些章专门介绍某一位数学家, 比如第 E 章的欧拉、第 F 章的费马和第 R 章的罗素。有些章陈述特定结果, 例如等周问题及球体的曲面面积的阿基米德确定法。有的章则关注一些更宽泛的主题, 如数学人物和这一学科中的女性等。无论是什么样的主题, 每一章都讲述了大量的历史事实。

顺着这样一条路线, 我们将展示数学各主要分支的概况（从代数到几何, 直至概率和微积分）。这些章节的设计着眼于解释关键数学思想,采用了不那么正统的教科书的形式, 行文间时而会出现一些实际的证明（至少是“小证明”）。例如, 第 D 章和第 L 章分别介绍微分和积分,因此少不了要多涉及一些数学运算。

然而, 在多数章中, 我们会尽力减少技术性推理。事实上, 本书的主题都在初等数学范畴内。也就是说, 本书把主要内容框定于高中代数和高中几何。数学专业人士在这些章节中不会发现什么新奇的东西。本书针对的是那些对数学有浓厚的兴趣, 而且还有一定知识背景的人。

有几个中心思想会不断出现。例如, 数学这门学科虽然古老, 但极为重要；它既涵盖了人们日常生活的方方面面, 又深入那些抽象的神秘领域；数学是一门博大精深的学问。而按照字母顺序来组织内容并展示这门大学问的精髓正是本书追求的目标。

在此, 有必要提一下保罗斯（John Allen Paulos）的著作《超越数》（Beyond Numeracy）, 保罗斯把这本书描述成“部分是字典, 部分是数学短文集, 部分则是数学研究者的思考”。保罗斯这本生动的著作同样按字母 A 到 Z 的顺序描绘了数学的发展历程, 他从 algebra （代数）开始一直写到（数学家）Zeno （芝诺）。对某些字母他安排了多个条目, 因此他那本书的覆盖面更宽；而我选择通过少量而篇幅较长的文章来增加深度。我希望这两本都按字母顺序编排但风格各异的书能够相得益彰。

当然, 任何作者都没有办法做到面面俱到, 不可能讨论到所有关键要点、介绍到所有重要人物, 或涉及所有亟待解决的数学问题。作者每次都必须做出选择, 而这些选择又要受到内在一致性、题材的复杂程度、作者的兴趣和专业知识的限制, 还要受到完全人为的字母顺序的限制。这类书的选题策划方案决定了它难免挂一漏万, 而大量的好素材最终都不得不忍痛割爱了。

这样一来, 本书就成为一个人只身面对浩瀚数学宇宙的感悟。跟随本书在数学知识的海洋中遨游, 只能经历无数条路径中的一条, 而且我也认为我所选择的从 A 到 Z 的顺序并不是最完美的路径。

抛开限制不谈, 我仍然希望本书至少能够展示数学这门魅力无穷的学科的概貌。正如 19 世纪数学家索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅所说：“许多无缘更深入认识数学的人士把数学与算术混为一谈, 而且还误认为它是一门枯燥无味的科学。然而实际上, 它是一门需要最强大想象力的科学。”也许这本书能够再现 5 世纪希腊哲学家普罗克洛斯（Proclus）的高尚情怀：“单凭数学便能重振生机, 唤醒灵魂……赋予其生命, 化想象为现实, 变黑暗为智慧的光芒。”