“绝对确实性基础的几何学”

石里克《普通认识论》：

当数学家们发现最基本的几何学概念如点或直线实际上是不可定义的(也就是说，不可能把它们分解为更简单的概念)时候，起初，他们满足于一种观念，认为这些基本概念的意义在直观上已经非常清楚地给出，以至于从这些概念就能够完全确实地从外观上立即看出几何学公理的有效性。然而，现代数学并不满足于这种对直观的依赖。在谈到基本问题时，它不仅着手寻求新的几何学定理，而且还寻求一切几何学真理有效性的根据。由于数学家极力避免任何诉诸直观的做法，因而数学证明，从已知命题推出新的命题的证明，获得了严格性。一切结论都不能从直观中推出，而尽可能运用逻辑的手段从清楚表述的命题中推出。因此，诸如“从对该图形的思考中可以得出……”、“从这图中可以看出……”之类的说法都被禁止，特别是，在几何学的证明中，不再默许任何仅仅通过观察图形便能确立其存在的属性。相反，这些属性的存在必须以纯粹的逻辑方法从假说和公理中推出，或者，如果结果表明这种推论是不可能的，就必须在新的公理中特别地陈述出来。

在这个时候，如果将几何学公理这种为一切证明所依据而本身不可证明的最终原则的有效性仍然归于直观，那就显得不可容忍了。特别是由于受到有关平行性公设的观点发展的影响，数学家们开始怀疑直观的可靠性，他们力图从证明程序中消除的同样正是这种直观。如果基本的数学概念如“点”、“线”、“面”的意义只能通过直观来显示，那么适用于这些基本概念的公理也只有从直观中达到。然而恰恰是这种证明的合法性成了问题。

为了避免这种不确定性，数学家们开辟了一条对认识论具有最重大意义的道路。大卫•希尔伯特在其他人所做的准备性工作的基础上着手构造具有绝对确实性基础的几何学，这种确实性在任何方面都不会有诉诸直观的危险（D.希尔伯特，《几何基础》）。至于希尔伯特是否在每一个特殊之点上都是成功的，或者他的解决方法是否还需要进一步补充和完善，我们在这里不去讨论。我们所关注的只是原则，而不是原则的执行和详细说明。

这种原则本身是惊人地简单。这个任务就是引入一些通常是不可定义的基本概念，使处理这些基本概念的公理的有效性得到严格的保证。希尔伯特的解决办法就是规定仅仅由这些基本的或初始概念满足这些公理这个事实来定义这些概念。

这就是著名的公理定义或公设定义或蕴涵定义。

重要的是要十分清楚地了解这种定义的意义是什么，它提供的是什么，它与通常种类的定义的区别何在。一般地说，在科学中定义的目的就是把概念造成清楚确定的记号，从而使知识的工作能够以充分的信心向前推进。定义正是从这种工作所儒要的所有这些特征中建造概念。科学的智力劳动——我们马上就来更加详尽地考察它的性质——就在于推理，也就是从已有的旧的判断中推出新的判断。推理只能从判断或陈述中进行。因此，当我们在思维的活动中利用概念时，我们除了使用某此刘晰透用于这一概念这个属性——如公理适用于儿何学的初始概念这个属性——以外，并不使用这一概念的任何属性。由此可见，对于进行一系列推理的精密科学来说，概念事实上仅仅是关平它的某些判断能够得以表达罢了。因此,这也就是概念应当如何定义的方法。

现代数学在选择以这种方式定义几何学的基本概念时，实际上并没有创造什么全新的和独特的东西。它只是指出了这些概念在数学的演绎中实际上所起的而且一向都在起的作用而已。那就是说，当我们从一些数学真理推出另一此数学真理时，这此基本概念的直观的意义并没有受到任何影响。由于所涉及的只是数学命题的有效性和它们之间的相互联系，就这点来说，比如我们把“平面”这个词是不是理解为每个人在听到这个词时所想到的熟悉的直观图形还是理解为任何别的图形，对这种数学的演绎都没有造成任何影响。在这里重要的只是这个词意味着使一套特殊的陈述 (公理)得以成立的东西。对于在这些公理中出现的其他概念来说，也完全如此，它们也同样见由它们与别的概念处于某种关系之中这个事实来定义的。

因此，希尔伯特从一个命题系统开始，在这个命题系统中有许多词项(如“点”、“直线”、“平面”、“在……之间”、“在……之外”，等等)开始时井没有任何意义成内容。这些词只是借助于该公理系统而获得意义，只具有该公理系统所赋予它们的内容。它们所代表的东西全部实质就在于作为该系统所构成的关系的承担者。这并不表示任何特殊的问题，因为这些概念并不是实在的事物。即使不能把实在的直观的事物的存在仅仅看作是它与其他事物之间的某种关系,即使我们不得不认为关系的承担者是被赋予某种自身性质的存在——这也不适用于这些概念。