21世纪数学的五大指导理论

评估21世纪数学中最伟大的五个理论是一项复杂的任务，因为这要求充分考虑各个理论的影响力、广泛性和创新性。到目前为止（截至2023年），以下五个理论和进展可能具有类似的指导意义：

1. 高维统计学的发展：在大数据和机器学习迅速发展的背景下，21世纪的数学家们对高维统计的理论进行了深入研究。这些理论，例如稀疏性和压缩感知理论，已经对数据科学产生了深远的影响。
2. 网络理论中的图限理论（Graph Limits）：随着对大型网络的兴趣日增，图限理论应运而生。它允许数学家们研究无限大图的性质，并理解大型网络中的模式和结构。这对理解复杂系统如社交网络、生物网络等有着深远的影响。
3. 同调理论的新进展（如Floer同调）：在几何和拓扑学中，同调理论已经是一个深奥而强大的工具。21世纪，Floer同调的发展，以及与之相关的Khovanov同调等，为我们提供了一系列新的方法来处理数学物理中的问题，尤其是在量子场理论和低维拓扑中。
4. 现代密码学的突破（如同态加密）：随着量子计算的崛起，对抗量子计算机的攻击成为了一个中心问题。同态加密等现代密码理论允许在不解密的情况下对加密数据进行计算，这对保护隐私和安全至关重要。
5. Poincaré猜想的证明及其对三维流形理论的影响：虽然格雷戈里·佩雷尔曼对Poincaré猜想的证明发表于2003年，它的影响持续到了21世纪。它不仅解决了一个长期未解的问题，还对三维流形的研究产生了重大影响。

这些理论和发展代表了21世纪初数学的一些最重要的进展。当然，21世纪的数学还有很长的路要走，可能还会有新的理论和发现颠覆现有的榜单。这些理论的挑选反映了当前数学和相关领域发展的趋势和重点，也可能会因未来的研究和发现而发生变化。