书摘
毕达哥拉斯或许算不上，但人们往往低估了他的贡献，他值得更多赞誉——不在于他做出了什么，而在于他推动了什么。 毕达哥拉斯定理 为什么重要？ 它提供了几何和代数之间的重要联系，使我们能够根据坐标计算距离。它也催生出了三角学。 它带来了什么？ 测绘、导航，以及较近代出现的狭义和广义相对论——现有最好的关于空间、时间和重力的理论。 对数 为什么重要？ 加法比乘法简单得多。 它带来了什么？ 计算日食和行星轨道等天文现象的高效方法。快速进行科学计算的方法。工程师的忠实伴侣——计算尺。放射性衰变和关于人类感知的心理物理学。 法国数学家兼天文学家皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace)说，对数的发明“将几个月的劳动减少到了几天，使天文学家的生命延长了一倍，并使他免于错误和厌恶”。
微积分 为什么重要？ 它为微积分提供了严谨的基础，而微积分是科学家们为自然界建模的主要方式。 它带来了什么？ 切线和面积的计算。立体体积和曲线长度公式。牛顿运动定律、微分方程。能量和动量守恒定律。数学物理的大部分内容。
在伽利略的观察中，位置随时间的平方变化，速度呈线性变化，而加速度则根本不变。牛顿意识到，为了更深刻地理解伽利略的规律，以及它们对我们的自然观意味着什么，他必须要对付瞬时变化率了。当他这样做时，微积分就跃然而出了。
在简单的计算层面上，微积分的应用包括求曲线长度、曲面和复杂形状的面积、物体的体积、最大值和最小值，以及质心。结合力学定律，微积分告诉我们如何求出太空中火箭的轨迹、可能产生地震的俯冲带的岩石中的应力、地震发生时建筑物将如何振动、汽车在悬架上如何上下弹跳、细菌感染扩散所需的时间、手术伤口愈合的方式，以及大风中悬索桥受的力。
牛顿的万有引力定律在一个简单的数学公式里凝结了数千年的天文观测和理论。
牛顿定律 为什么重要？ 它可以应用于通过引力相互作用的任何物体系统，比如太阳系。它告诉我们，它们的运动是由一个简单的数学定律决定的。 它带来了什么？ 准确地预测日食、行星轨道、彗星返回、星系旋转。人造卫星、地球勘测、哈勃空间望远镜、太阳耀斑观测。行星际探测器、火星车、卫星通信和电视、全球定位系统。
负一的平方根 为什么重要？ 它催生了复数，而这又带来了复分析，这是数学中最强大的领域之一。 它带来了什么？ 更好的计算三角表的方法。将几乎所有数学推广到复数域。用更强大的方法来理解波、热、电和磁。量子力学的数学基础。
莱布尼茨毫不怀疑虚数的重要性。他在1702年写道：“圣灵在分析的奇迹中找到了一个崇高的出口：理想世界的预兆、存在与非存在之间的两栖动物，我们称之为负一的虚根。”
欧拉多面体公式 为什么重要？ 它利用最早的拓扑不变量的例子来区分具有不同拓扑的立体图形。这为更一般、更强大的技巧铺平了道路，创造了一个新的数学分支。 它带来了什么？ 纯数学中最重要和最强大的领域之一：拓扑学，它研究连续形变下不变的几何性质，比如曲面、纽结与链环。大多数应用是间接的，但它在幕后起的作用十分关键。它有助于我们了解酶如何作用于细胞中的脱氧核糖核酸(DNA)，以及为什么天体的运动可能是混沌的。
正态分布 为什么重要？ 它定义了一族特殊的钟形概率分布，这种分布往往能很好地反映常见的实际观测。 它带来了什么？ “普通人”的概念，测试实验结果（如医学试验）的显著性检验，以及（很不幸）默认形成钟形曲线的倾向，就好像别的分布都不存在一样。
他整理了一本关于这个主题的书《论赌博游戏》(Liber de Ludo Aleae)，直到1633才出版。其学术内容是人类第一次系统性地探讨概率数学，不那么光彩的内容则是关于如何作弊和不被抓住的一章。
波动方程 为什么重要？ 它预测弦将会呈波浪般运动，并且它自然地推广到其他会出现波的物理系统。 它带来了什么？ 我们对水波、声波、光波、弹性振动等的理解有了一个飞跃…… 地震学家使用它的改进版本，由地球的振动方式推断其内部结构。石油公司使用类似的方法寻找石油。在第11章中，我们将看到它如何预测电磁波的存在，从而带来了无线电、电视、雷达和现代通信。
傅里叶变换 为什么重要？ 频率分量可用于分析模式、定制模式、提取重要特征，以及消除随机噪声。 它带来了什么？ 傅里叶的技巧应用极为广泛，比如图像处理和量子力学。它用于发现DNA等大型生物分子的结构、压缩数码照片中的图像数据、清理古老或损坏的录音，以及分析地震。现代技术用于高效地存储指纹数据和改进医疗扫描仪。
纳维–斯托克斯方程 为什么重要？ 它提供了一种非常准确的方法来计算流体的运动方式。这是无数科学和技术问题的关键特征。 它带来了什么？ 现代客机、快速而安静的潜艇、以高速保持在赛道上的一级方程式赛车，以及针对静脉和动脉血流的医学进步。用于求解这一方程的计算机方法，称为计算流体动力学(CFD)，被工程师广泛用于这些领域的技术改进。
麦克斯韦方程组 为什么重要？ 这是物理力的第一次重大统一，表明电和磁是密切相关的。 它带来了什么？ 预言电磁波存在并以光速行进，因此光本身就是电磁波。它推动人们发明了无线电、雷达、电视、计算机设备的无线连接，以及大多数现代通信技术。
热力学第二定律 为什么重要？ 它限制了我们可以从热量中获得多少有用功。 它带来了什么？ 更好的蒸汽机、可再生能源效率的估计、“热寂”的情景、物质是由原子组成的证明，以及与时间之箭的矛盾联系。
相对论 为什么重要？ 光的速度很快，它的平方绝对是一个巨大的数。1千克的物质释放出的能量相当于史上最大的核武器爆炸所释放能量的约40%。一系列相关的方程改变了我们对空间、时间、物质和引力的看法。 它带来了什么？ 当然有全新物理学。核武器……好吧，也许吧——但不像坊间传闻中那样直截了当或言之凿凿。黑洞、大爆炸、GPS和卫星导航。
广义相对论的另一个著名的天文学验证，是爱因斯坦预测太阳会使光弯曲。牛顿引力也预测到了这一点，但广义相对论预测的弯曲量要大上一倍。1919年的日全食提供了一决雌雄的机会，亚瑟·爱丁顿爵士进行了一次考察，最终宣布爱因斯坦胜出。
1916年，德国天体物理学家卡尔·史瓦西(Karl Schwarzschild)对爱因斯坦方程做了这个假设，并设法得到了方程的精确公式解，称为“史瓦西度规”。他的公式有一个奇怪的特征：奇点。方程的解在位于距球心特定距离处变为无穷大，这个距离称为史瓦西半径。起初人们认为这个奇点是数学的某种产物，其物理意义有相当大的争议。我们现在把它解释为黑洞的事件视界。
薛定谔方程 为什么重要？ 薛定谔方程是量子力学的基础，它与广义相对论一起构成了当今最有效的物质宇宙理论。 它带来了什么？ 在极小尺度上对描述世界的物理学进行彻底修正，其中每个粒子都具有描述可能状态的概率云的“波函数”。在这个层面上，世界本质上是不确定的。它试图将微观量子世界与宏观的经典世界联系起来，导致了至今仍有影响的哲学问题。但在实验上，量子理论非常有效，如果没有它，就没有今天的计算机芯片和激光器。
混沌理论 为什么重要？ 它是可以产生确定性混沌（貌似随机的行为，却没有随机的原因）的最简单的方程之一。 它带来了什么？ 认识到简单的非线性方程可以创建非常复杂的动力学，并且表观随机性下可能有隐藏的秩序。这一发现通常被称为混沌理论，在整个科学中有无数的应用，包括太阳系中行星的运动、天气预报、生态学中的种群动态、变星、地震建模，以及空间探测器的高效轨道。
布莱克–斯科尔斯方程 为什么重要？ 通过为衍生产品规定公认的“理性”价值，它让衍生产品得以在到期之前进行交易，从而使其成为一种虚拟商品。 它带来了什么？ 金融业大规模增长，金融工具越来越复杂，经济繁荣时的暴涨最终归于崩溃，20世纪90年代的股市动荡，2008年至2009年的金融危机，以及持续的经济衰退。
