你曾经看过哪些精彩的数学书？
这本书主要是把数学的诸多个主题，比如微积分，代数，拓扑，群论 ，微分几何等等，这些分类的课程汇 聚在一起。用书中作者的一句话是：赋予大学数学 一种统一的观点，办法则是用数学的历史来探讨它。 这本书并不是讲数学上的历史，而是通过引述数学中的历史，找到某种数学进展 的动机，进而利用这些动 机，清楚的叙述数学概念和内容，并且理解数学。所以引述历史只是手段，目的还是为了讲清楚数学概念 和理论。 本人在学习的过程当中，不管是学数学和物理，有些时候很多理论在教科书当中的叙述，似乎都是是从天 上掉下来的，我们不知道为什么去发展这个理论，动机何在，又因何在那里会出现关于某一个理论，它在 整个体系当中到底是起着怎样的作用，都是未知的，像打开一本数学专业的教科书一般都是只有定义定理 证明，当然，数学水平高的人一下子就能看懂，并且看着挺舒服的。但是对于很多水平不高的人，尤其是 一些初学者就非常困惑，学完之后只是学了一些定义定理证明，可能印象比较深的也就是几个著名的定理 和证明过程。对应在物理当中就是学了些定律，然后直接拿这些定律和理论框架去应用某些具体的具体的 例子或者模型。然而，在实际的历史发展过程当中，如果一个人没有充足的动机和需求，是不可能花费多 么大的精力，甚至穷尽自己的一生去建立某一个理论的。因此，这些动机到底在哪里，只有往历史当中去 寻找。一旦找到了动机，那么对于某个理论就不再有接受上的困难。 本书还有一个特点，就是将相互陌生的数学领域联系起来，比如作者将射影几何 和有限群理论联系起来 了，分析和组合学联系起来。再比如说数论，几何和分析，作者都通过了一些例子，十分自然的联系在一 起，比如某种环的因子分解 唯一性不成立，然后对应到的几何就是莫比乌斯带，然后这又跟一个线性积分 微分方程 联系在一起。通过这些简单的例子描述了将数学不同分支的相互影响和预想不到的一些联系，达 到的数学上的某种统一性。 其实，类似的统一性在其他学科当中也有，而在历史进程也经常发生。在物理学当中，比如对称破缺 这个 概念，就都出现在凝聚态物理 和粒子物理，是两个领域相互影响和发展进一步加深了对这个概念的理解。 在做科研的过程当中，不同学科的不同方向分支相互影响，就是能够产生一些启发性的观点，这是科研过 程当中经常出现的。 下面来讲一讲本人作为一个物理学习者是如何学习数学的。首先，如果想要学习某一个领域的数学，那么 首先就是看这本书，找到对应的章节和衍生的某些章节，弄清楚这个领域大概的一些重点和一些基础的认 知，一些关键人物的贡献，然后做出书中的习题。值得强调的是书中的习题是非常漂亮的，难度不大却层 层递进，作者通过这种引导，最终证明一个关键定理或命题，在这个过程当中也能够学到非常多新的知 识。可以说在这里习题更是正文的一部分，都是有启发性的。在有了以上基础的了解之后，第二步就是找 对应物理学家所写的一些数学书，这里的选择就很多了，比如微分几何我本人是学习梁灿彬 老师的教材和 讲义。群论的话，就是学习A.Zee的，当然是选择性的阅读。第三步就是阅读某一些数学家写的关于物理的 数学理论。比如阿诺尔德的经典力学 中的数学方法，比如数学家用量子力学 这样的。然后就是在阅读具 体论文时，再碰到某些数学概念和推导也都不会有很大的困难了。 根据本人的一些主观感受，即使是很多理论物理专业毕业的博士，他们的数学基础也都不是很牢固的，他 们只求算出某种计算的结果。有些时候更关注于物理图像，而忽略了背后非常简洁的数学符号 以及较为深 刻的数学图像。而据本人一些不太充分的了解，国际上，一些著名大学的理论物理专业学生是很注重数学 的学习的。了解直观的物理图像和用抽象且简洁的数学语言 描述物理模型，本身是不冲突的。 历史上也说明了这一点，最典型的例子是，电磁学基本方程的建立。另外一个典型的例子是爱因斯坦的相 对论，爱因斯坦一开始认为闵可夫斯基 等人对狭义相对论数学基础的重新描述是徒劳的，后来在自己创立 广义相对论 的过程当中发现闵可夫斯基的理论还是非常管用的。因此，可以在某种程度上来说，一些深刻 的物理见解，也蕴含在一些抽象的数学理论 当中。广义相对论就是一个典型的例子，这里就不得不提黎曼 的贡献。 2024/5/1 19:49 (48 封私信 / 99+ 条消息) 你曾经看过哪些精彩的数学书？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/430479961/answer/2838157400 1/1
