谈谈本书、谈谈拓扑

什么是拓扑？起码按照大部分科普书中都会给出的一个对几何拓扑形象但并不十分精确的讲法，拓扑学就是“橡皮几何学”。如果两个几何对象可以通过连续的拉一拉扭一扭互相变换就认为它们拓扑等价，因此在拓扑学中不再关注一个几何对象的度量性质而是关注那些能够被拓扑等价所保持的性质。历史上的一个经典例子就是最终被欧拉解决的所谓的哥尼斯堡七桥问题，欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为了一个连通图的一笔画问题，在这个问题中重要的是图中的点和边如何连接而不是边的形状与长度，这就为考虑那些超出欧氏几何研究范围的几何性质提供了最初的动机。而要将上面提到的“连续变换”等等表述进行严格化，第一步要做的自然是将几何对象看作集合、将变换看作映射，建立一套更为一般的拓扑学理论称之为点集拓扑学。

抛开以范畴论以及其上的各种泛性质为基础的代数学不谈，集合论仍然是绝大部分现代数学借以展开自身的最初舞台。集合本身的规定最少、因而也是最为空洞与抽象的，对此只能谈论势的概念，但如果在集合上通过数学公理增加更多的结构，并考虑集合之间与这些结构相容的映射，那么一个个丰富多彩的世界就在我们面前逐步呈现。例如可以规定运算得到群环域、规定开集得到拓扑空间，有了开集就可以定义极限与连续性，要是加上更丰富的结构还可以进一步定义可微性因而有了分析学。按照布尔巴基学派那个众所周知的说法，拓扑结构与代数结构和序结构并称为现代数学的三大结构，也正是因此研究拓扑结构的拓扑学尤其是点集拓扑学在数学专业本科的课程体系中占据着不亚于抽象代数的重要地位。即使是在仿射代数几何中也会用到以仿射空间An中代数集为闭集的Zariski拓扑，它的概念术语与思维方式遍布后续的几乎一切数学课程。

理论上讲读Munkres这本书的点集拓扑部分只需要很少的预备知识，朴素集合论的知识可以看本书的第一章，此外就只需要学过数学分析即可。 而代数拓扑部分对于代数知识的运用也基本是“蜻蜓点水”式的， 只需要线性代数加上基本的抽象代数（主要是群论）就足够了。就比如学习基本群起码要知道群的概念、学习Van Kampen定理就必须掌握自由群和自由积的基础知识，而这是理解闭曲面的拓扑分类定理的完整证明所必需的。

二三两章是点集拓扑学的基本知识，是任何一本拓扑学教材一定会讲到的，从推广欧氏空间中开集的性质出发定义拓扑空间、之后介绍拓扑基与子基、开集闭集极限点闭包与连通性等等概念，这些基本都是数学分析中相应定义的直接推广，没有太多可说的内容。而Munkres这本书的第一个特点就在于乘积拓扑比其它书讲的要细致得多，介绍了无穷乘积空间上的箱拓扑与乘积拓扑两种不同的定义拓扑的方式，它们在有限乘积空间上是等价的而在无限情况下箱拓扑要比乘积拓扑更细因而可以被用来构造一些不常见的反例。

这两章中最为核心的内容应该是商拓扑与紧性，这是拓扑学这门课程最初的两块不平凡的内容。就像科普书中常见的不可定向曲面Mobius带就可以通过将矩形的两对边反向黏结得到，而黏结操作的数学表述就是所谓的商空间与商拓扑。这部分内容是整本书最有意思的内容——闭曲面的拓扑分类定理——的基础，可惜的是本书把后者放到了非常靠后的第十二章，就使得商拓扑的内容显得有些割裂。相比之下尤承业的《基础拓扑学讲义》的处理值得参考，在第三章就利用商空间的理论给出了闭曲面分类定理主要部分的证明，得到了闭曲面同胚于nT2或mP2。使读者可以在一个统一的框架下审视射影平面、Mobius带和Kline瓶这些不平凡的闭曲面。而关于紧性又有覆盖紧、可数紧、列紧和极限点紧等等不同的刻画方式，在度量空间之中它们彼此等价，在拓扑空间中以可数紧为桥梁在附加一定条件（A1、T1和Lindelof条件）的情况下可以相互推导。另一块有意思的内容就是紧性的两种弱化形式——局部紧和仿紧（在第六章），其中局部紧T2具有与完备度量空间类似的Baire纲定理，还有（同胚意义下）唯一的单点紧化，这就为数学分析中的广义实数系与复分析中的扩充复平面的构造提供了拓扑解释；而仿紧性可以用来刻画拓扑的可度量化问题。最后关于紧性的一个重要结论是与选择公理等价的Tychonoff定理，它是说紧空间的任意乘积仍然是紧空间，只是Munkres的书上把这部分内容放到了后面的第五章里面。

此外Munkres书上以附加习题的形式介绍了网的概念，主要是用来推广度量空间中序列收敛的概念来给出用收敛来刻画的拓扑空间的极限点、连续函数以及紧性。最终可以证明如下结论：拓扑空间X是紧空间当且仅当X中的每个网都有收敛子网，从而给出了拓扑空间中紧性的另外一种刻画。如果想要详细学习这部分内容，最好的参考资料还是Kelly的General Topology（GTM27）的第二章Moore-Smith收敛。

之后就是点集拓扑部分最为核心的第四章——真正脱离了分析，完全起源于拓扑问题的可数性与分离性公理。主要内容是引入A1，A2两个可数性公理（可分与Lindelof条件也可以看作是一定程度上对可数性的描述）与T1到T4四个分离性公理并研究它们之间的相互关系。T4空间尤为重要，尽管它并不具备对乘积空间上的可积性与对子空间的遗传性；在T4的假设下任意两个无交闭集可以被连续函数分离也就是Urysohn引理，由此可以推出Tietz扩张定理——T4空间中闭集上的连续函数可以扩张到全空间，事实上T4与Urysohn引理与Tietze扩张定理彼此等价，分别从不同的角度刻画了T4空间的分离性质。最后可以证明本章的最终目标Urysohn度量化定理：满足A2与T3的拓扑空间是可度量化的，给出了拓扑空间可度量化的一个充分条件。而在第六章之中用可数局部有限和这样更弱的条件代替A2公理还可以给出拓扑空间可度量化的等价刻画——Nagata-Smirnov定理，从而彻底解决了拓扑空间的可度量化问题。

代数拓扑的部分依然延续了本书讲解细致的特点，主要内容是基本群及其应用，其中以闭曲面的拓扑分类定理最为有趣。代数拓扑的目标在于发现以代数结构的形式存在的拓扑不变量从而用代数方法研究拓扑问题，第九章在道路连通拓扑空间的道路同伦等价类中定义乘法构成基本群，也可以把它理解为由拓扑空间范畴到群范畴的函子，诱导同态满足相应的函子性质。它是第一个以代数结构出现的拓扑不变量，可以被用来区分一些在点集拓扑中无法区分的拓扑对象比如单连通和多连通空间。接下来为了计算一些具体空间的基本群就需要有覆叠空间的概念，通过道路在覆叠空间中的提升可以得到单位圆周S1的基本群同构于整数加群，利用Van Kampen定理进一步得到圆周束以及紧无边流形的基本群，完成闭曲面分类定理的证明。反过来，基本群也可以用作研究覆叠空间的工具，给出覆叠空间的分类。

接下来就是同调论的内容，本书只是简单讲了同调群的基本概念并没有深入展开，这部分的内容被放到了作者的另一本书《代数拓扑基础》中去了。