Mathamatics and Plausible Reasoning

大三教我微分几何的乌克兰老师推荐了此书，他用浓重的俄式英语说：“If you want do(to) know how do(to) conduct math research, read Polya.” 由于大多数人对老师的口音和传授风格不太适应，这个课堂终于门可罗雀，却是对我的数学思考影响最大的一门课，主要归功于老师着重介绍了波利亚的两卷本《数学与猜想》。

如何通过此书进行数学训练？对此我有几点体会：一是读英文原版，模仿写作；二是提炼正文的核心要点，贯彻到自己平时的理论活动中；三是仔细完成每一道习题，因为此书的习题才是精华所在。具体而言：

首先，单纯从写作上来说，波利亚的文字表达简洁凝炼，好像和朋友在交谈，同时又极富哲理。无论是对于教材编写者、数学教师，还是广大研究工作者，此书都是写作训练的重要参考文本。

其次，从正文来看，这本书主要介绍数学家是如何展开数学研究的，包括归纳、类比、提出猜想等。这些最基本的数学素养贯穿了欧拉等大数学家的研究工作，提供了理解数学史的重要线索。真实的数学创作起点和人们通常理解的“定义-定理-证明-推论”演绎架构非常不同，更像是实证科学，从具体例子出发，在归纳和类比中提炼猜想。正如沙法列维奇在《代数基本概念》的序言所说，“（代数基本概念）用基本例子的一批样本会表达得更好，这给数学家提供了动机和实质性的定义，同时给出了这个概念的真实意义。”不仅局限于代数，在几何学、分析学和数论中，归纳逻辑也具有核心重要性。在这个意义上，《数学与猜想》所提出的原则，是判断一本数学著作是否合格的关键依据。

最后，从习题来看，这本书达到了数学作业题的最高境界。举例来说，第一卷第二章的近五十道习题，是对欧拉无穷乘积研究的细致剖分。通过这些习题，不仅能够看到一种类比思维如何塑造了数学史的各种转折，而且细读某些注释，还能深入到欧拉和阿贝尔、柯西等人工作的交叉点上。看上去很简单的习题，其实有研究动机在里面。令人惊叹的是，每一章的习题都站在了这样的高度上。