绕过行列式的线性代数

过去我们学习线性代数时，是与欧几里得空间和矩阵打交道。这使得描述线性算子的结构既难懂又不直观，还缺少动机，并且导致思路曲折，同时掩盖了线性代数的本质。可以说，绝大多数线性代数书都是用行列式来证明有限维复向量空间上的线性算子都有本征值。一般的做法是先定义行列式，再证明线性映射不可逆当且仅当其行列式等于0，然后定义特征多项式。但如果不用行列式来给出证明，且更简单更直观，那么将开辟一条通向线性代数主要目标，即理解线性算子结构的主要路径。

在《线性代数应该这样学》中，作者就是这样做的。正如前面所说，利用行列式工具的曲折思路不能让学生直观地理解为什么本征值一定存在。而本书完全抛开行列式，采用更直接的方法阐述线性算子的基本理论，能够让学生更直、深刻地理解线性算子的结构。作者从线性代数的初步知识讲起，只需适当的数学素养，不需要更多的预备知识，叙述由浅入深、论证详细，除了适合做课本，还适合作自觉教材和参考书。

作者的论述是由浅入深、逐步展开的，这从内容的编排和处理方式上可以看出来。作者先定义了向量空间，给出其基本性质，接着定义了线性无关、张成、基和维数这些概念，以体现有限维向量空间的基础理论，然后引入线性映射的基本定理，给出多项式的部分理论，做为理解线性算子的必备知识，接着从要研究线性算子可将其限制到更小子空间的想法引出本征向量，在这里给出了复向量空间上本征值存在性的简洁证明，并将结果用于证明复向量空间上线性算子关于某个基有上三角矩阵。

其次，定义了内积空间，利用标准工具（规范正交基和格拉姆-施密特过程）发展了内积空间的基本性质，同时还描述了利用下次投影来解某些极小化问题的方法。然后证明了刻画某些本征向量可组成一个规范正交基的线性算子的谱定理。另外还讨论了正算子、等距同构、极分解和奇异值分解。再然后引入极小多项式、特征多项式和广义本征向量，且利用广义本征向量描述了复向量空间上的线性算子。最后还介绍了实向量空间上的线性算子，以及其主要方法复化等。

作者在最后一章才引入行列式，并且把迹和行列式定义为本征值（按重数计）的和与积。于是关于行列式的一些标准定理也变得更清楚。由于利用极分解和实谱定理导出重积分的变量替换公式，行列式的出现也显得自然了。

总之，《线性代数应该这样学》颠覆了传统的教学方法，独辟蹊径地采用更直接的方法阐述线性算子的基本理论，使学生更直观、深刻地理解线性算子的结构。同时还对相关术语、结论、数学家和证明做了注释，不仅增加了趣味性，也加深了对一些概念和思想方法的理解。