模型论论证和目标函数

普特南的反实在论模型论论证大致是说，词语（‘rabbit’）和指称（兔子）之间的关系是不确定的。即使我们的语义理论（描述了这些词语和指称的配对）确保每句话的真值都稳定不变的，我们依旧可以像Löwenheim–Skolem定理那样排列组合这些配对，得到许多指称不同的语义理论。也就是即使两个语义理论都确保句子‘rabbits are animals'是真的，这两个理论也可以匹配给‘rabbit’不同的指称，比如一个是兔子，一个是樱桃。

但普特南的论证的关键在于，他只考虑‘句子的真假’这一个对语义理论的限制，而且他认为几乎所有其他的限制（比如Hatry Field和David Lewis的反驳）都属于这个限制，本质上相当于给这个语义理论塞进去更多需要稳定真假的句子。用现在model fitting的术语来讲，putnam只考虑minimize一种目标函数：理论和观察之间的error（比如mean squared error）。在这个框架下，的确能得出很多error相同但本质不同的模型（特别是design matrix是singular的时候）。但统计学/机器学习的解决方案是regularization。增加一个完全不同性质的目标函数（penalty term），比如要求coefficient必须接近零，也就是理论中的指称必须简单。然后同时minimize这两种不同性质的目标函数。Field和Lewis的反驳应该从这种regularization的角度来理解。