微积分发现之旅

学习的目的在于应用。微积分的学习也不例外，经由其对现实世界的重要意义，通过系统的学习可以为规划自己的微积分发现之路提供基本工具。微积分学习的重点在于理解概念。以图像、数值、代数公式和语言描述等方式呈现基本概念，并强调这些不同表示方法间的关系，可以极大的促进对概念的理解。由此，理解概念和掌握技能可以齐头并进，互相强化。 在《斯图尔特微积分.上》中，为每个学习者规划自己的微积分发现之路提供了基本工具，帮助学生发现微积分的实用价值和惊人之美。通过切入涉及函数图像的两个关键问题，即面积和切线问题，以及它们之间令人意想不到的关系，作者直抵微积分的核心。 微积分探讨的是动态现象，与(随时间t)变化和运动(的轨迹和速度)有关，处理这些数学量之间的趋近关系。在书的开始部分，作者带领我们预览了微积分的一些主要思想，以展示其如何以极限为基础建立起来。首先，微积分建立在代数和解析几何的基础上，用于分析连续变化的量或过程；对此过程进行数学建模(或描述)，并计算这些变化的累积效应。 其次，由面积问题深入积分学的核心，而由切线问题深入微分学的核心，积分学和微分学两者合起来就是微积分学。应该认识到，面积问题很重要，因为函数图像下方的面积对不同的函数有不同的现实意义；而切线问题也很重要，因为函数图像的切线的斜率在不同情境里代表不同的含义。为计算前者发明的技巧能用于计算立方体的体积、曲线的长度、蓄水对大坝的压力、从水箱中抽水所做的功，以及将火箭送入轨道需要的燃料数量等。解决后者帮助计算像石块下落的瞬时速度、化学反应的变化率或者悬链上力的方向等。 最后，阐明微积分的核心发现是此两者的密切关系，这种关系甚至使其中一个问题的解决会导致另一个问题的解决。面积和切线问题的关系被命名为微积分的基本定理。基本定理大大简化面积问题的解决过程，使得不必矩阵近似并计算极限，就能求出面积。 极限是求区域面积和曲线切线斜率而形成和概念，这一基本思想使微积分与数学其他领域区分开来。事实上，微积分可定义为处理极限的数学领域。再次强调一下，无论是曲线下方区域的面积，还是曲线切线斜率，它们在不同的情景中皆有不同的含义。 值得一提的是，在作者具体阐述各类主题时，涉及今天微积分在各种各样的情景中的应用，如确定卫星和航天器的轨道、预测人口规模、预报天气、测量心脏输出血量，以及衡量经济市场效率等。