1-2章的数学问题

小美她爹大帅 评论 微观经济学(上下) 5 2010-02-03 13:28:35
Grant.Q
Grant.Q (故事很无聊,但写得不错) 2010-03-11 14:16:03

数学不好还想通读全书的人飘过

focout
focout 2010-07-26 01:01:38

附录的定理M.B.1的证明(P.1317)我实在没看出有什么问题,还请你赐教一下,本人自己学数分的时候做这个题就是这样做的,且经查证,所有教科书都是这么证的。多谢赐教!

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-26 02:10:10

df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n应该得到[df(t*x_1,...,t*x_N)/d(t*x_n)]*[d(t*x_n)/dx_n]=t*df(t*x_1,...,t*x_N)/d(t*x_n)吧,不是t*df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n,链式求导不这么玩的。

你再对比一下http://mathworld.wolfram.com/EulersHomogeneousFunctionTheorem.html和P1317这个定理的证明,前者把M.B.1和M.B.2一气推导完了,后者分成两部分,还在链式求导出问题。

不知你查的哪本教科书,如果是数分教材应该不至于这么不严谨。

focout
focout 2010-07-26 16:36:49

哎...这位同学,我想你应该不是学数学的。其实你对偏导数有些误解

df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n的意思是,F这个函数对第n个变量的偏导数,在(t*x_1,...,t*x_N)这一点取值。我希望你不要怀疑我这个过来人的说法,如果实在怀疑,可以去询问一下你认识的老师,或者数学系的的同学。如果没有,可以查证一下任何一本数学分析教材。其实,我初学偏导数的时候也和你的理解是一样的,后来问了别人才知道。

不过,如果你是学数学的,那就...

总之,你是个挺认真的人,向你学习!

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-26 19:32:39

你没开窍阿,还做出高手状,怎么提醒你好呢……

这样吧。我这里给出证明,为什么P1317【定理M.B.1】的证明过程是错误的。欢迎大家来一起讨论(因输入字符限制,数学符号写的很难看,但意思差不离,以d表示偏导符)。
  
**************P1317【定理M.B.1】的证明的部分译文原文***************
证明:给定某个t>0。由齐次性定义(定义M.B.1)可知
  f(tx_1,...,tx_N) - t^r*f(x1,...,xN) = 0 (1)
这一表达式对xn求微分有
  t[df(tx1,...,txN)/dxn] - t^r*[df(x1,...,xN)/dxn] = 0 (2)
*********************原文引用完**********************
  
你看出这段推导的毛病来没?为了让你看懂,我不用什么复合函数链式求导,用求最简单的加法规则、数乘规则来演示出矛盾。
  
*********************导出矛盾**********************
对式(1)两边求xn的偏导,得
df(tx1,...,txN)/dxn - d[t^r * f(x1,...,xN)]/dxn = 0(求导的加法法则) (3)
=>
df(tx1,...,txN)/dxn - t^r * d[f(x1,...,xN)/dxn] = 0(求导的数乘法则) (4)
  
把式(4)与式(2)相减,得
df(tx1,...,txN)/dxn = t[df(tx1,...,txN)/dxn]
==>
df(tx1,...,txN)/dxn * [t-1] = 0
  
f(tx1,...,txN)不恒等于0,则t=1,即t已经蜕化为常数了。但命题题设中,没有限定t是常数或f等于常数。矛盾了。
************************Q.E.D**********************
  
我说他有问题,就推出个式子来,供大家琢磨。你要说它没问题,推一个公式解释一下,哪怕用极限定义演示一下,没有依据,空口白牙算什么阿。

还有,究竟是哪本教材那本数分居然这样教你求偏导的?你引用个文献例子阿,科学研究论据第一。
    
说什么“不要怀疑”你的说法,这种作派非常不像所谓的“过来人”阿……还有,出来混,你的基础应该再打牢点。高手是练出来的,不是装出来的。

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-26 19:58:06

@focout,什么是复合函数的链式求导法则?

参考
[1] 本书P1315,倒数第二段
[2] Rudin,《Principles of Mathematical analysis》,P214,Th. 9.15。

focout
focout 2010-07-27 11:02:42

哎,我觉得你根本没有认真看我的留言。我已经说了,书中df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n的意思是,f这个函数对第n个变量的偏导数,在(t*x_1,...,t*x_N)这一点取值。这是中习惯用法。有的作者可能会写作这样:
df(tx1,...,txN)/d(t*xn),但意思都是一样的,都是指的函数g()=(f的第n个偏导在(tx1,...,txN)这一点取值。
这个和你理解的是不一样的。从你的推导中:
df(tx1,...,txN)/dxn - d[t^r * f(x1,...,xN)]/dxn = 0(求导的加法法则) (3)
我看出你是这么理解的,你实际上是把f(tx1,...,txN)看成不光是X的函数,还是t的函数。我不是说你的理解有问题,你对链式法则的理解是绝对没有问题的。只是你对记号的理解不对。

focout
focout 2010-07-27 11:21:16

我手头没有书,我记得我第一次学的时候看那个符号也觉得它不好理解,后来老师和同学们都告诉我是那个意思。第一次见它应该是在吉米多维奇某卷里吧。我在网上找了些相近的,你可以参考参考,你可以看出你的3,4二式是对记号理解有些偏差的:
http://myyn.org/m/article/derivative-of-homogeneous-function/

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 11:22:58

我把问题排版的好看点来讨论,
  
http://rapidshare.com/files/409298372/M.B.1.pdf
http://www.douban.com/photos/photo/562430387/
http://www.douban.com/photos/photo/562431492/
  
  --------------------------------------
  
“有的作者可能会写作这样:df(tx1,...,txN)/d(t*xn),但意思都是一样的“
  ……
df(tx1,...,txN)/d(t*xn)和df(tx1,...,txN)/dxn根本就不一样,你仔细翻翻你看过的所有数分、高数,谁这么说过的?
  
其次,就算不用链式求导,只用加法求导、数乘求导,我也从原文证明里导出矛盾来,这个解释下吧。

focout
focout 2010-07-27 11:28:32

如果用这种记号,我想你应该是认可的:
http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/HOM.HTM#p:HomDeriv
但是只要对马斯克莱尔的教材中记号有个正确的认识,这两个证明显然是一样的

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 11:36:05

http://myyn.org/m/article/derivative-of-homogeneous-function/里的符号比较怪,我不大看得明白

http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/HOM.HTM#p:HomDeriv 里写着:”t f'_i(tx1, ..., txn) = tk f'_i(x1, ..., xn)“。这样写是OK的。因为它没有指明对谁的偏导。

这么说,讨论的结果是符号表示问题。

不过,我觉得符号使用有必要严格起来,不然,我反证的那个问题也避免不了啊,我只用了四则运算和求导四则运算就找了个矛盾,这不是逻辑自洽的系统。

focout
focout 2010-07-27 11:42:31

以我的经验看来,马斯克莱尔书里的那种符号用法是严格的,它是我见得最多最常用的符号之一,我想你可能是比较少见人这么用吧。虽然我不觉得 http://myyn.org/m/article/derivative-of-homogeneous-function的符号怎么怪,但是即使这样,你看它最后一个式子,就会发现它用的符号和马斯克莱尔书中是一样的。

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 11:45:35

以前做论文的时候,看那些搞物理的人推公式是相当痛苦的,因为他们符号也是论用,而公式推导又不甚细腻。后来看史树中(凸规划的专家)《数学与经济》书里说,他不大看物理学家推的数学,因为看不懂他们怎么用的,我就发现原来不止我一个有这种感觉。

相比起来,我读过的经济学家写的东西里的数学推导流畅得多可靠得多,不过我还是觉得符号一乱,逻辑上就有出问题的可能。

微积分才出现的时候,符号用的也挺乱,那会没人能确切定义无穷小和极限究竟是怎么回事,才惹出第二次数学危机,被伯克莱主教看笑话。

逻辑系统首先必须自洽、正确,其次才能追求完备(当然,哥德尔证明了正确性与完备性不可兼得)。

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 11:47:45

反正我的口味不喜欢这种用法,因为我从中就轻易地导出矛盾,凡是不能自洽的逻辑,我就觉得有问题……

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 11:50:51

就像书里对向量和矩阵的转置都不标明以及内积和矩阵乘混用,感觉怪怪的,很容易出问题

focout
focout 2010-07-27 11:56:45

这...所以我觉得不应该轻易说马斯克雷尔是错误的呀,只是个人的口味而已...,而且用习惯了以后可能就会发现它很好用呢。我觉得你并不算导出了矛盾,因为你是用你自己对那个符号的理解来推别人的理解的。我觉得做数学的人应该保持一颗敬畏之心,反复求证自己是不是理解有误。可能是我比较盲目崇拜权威吧,Mas-collel怎么说也算是位数理经济学家了,也发过好多数学文章了。我想他应该不至于(用你的话说)“误解了多元函数的链式法则”吧...

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 12:04:12

除了敬畏之心,也还得有怀疑之心吧。

这样推公式,我在Rudin的书里见不到,在国内好点的数分里也是见不到的。

我真想看看用其他符号系统如何解释我推的那个矛盾,因为我用的东西太基本了,这么基本东西放到其他符号系统难道会变得不一样?举个例证讨论下吧。

Anyway,我会把书评改一下,无论如何谢谢你找茬,你人挺好的。

focout
focout 2010-07-27 12:07:53

呵呵,交个朋友,我QQ413524862

focout
focout 2010-07-27 12:10:25

我想我已经想出来你用的那个符号有什么不妥了。在你的(3)式子中,按照你的用法,那个已经不是函数f对x-n的偏导数了,而是另外一个函数g(t,x_1,x_n)=f(t*x_1,t*x_2, t*x_n)的偏导数啦!所以,这样一来和后头那项所表示的意义就不一样啦。

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 12:17:18

我有点明白你的意思了,你觉得d(f(tx1,...,txN))/dxn实际上是(df/dxn)|x=(tx1,tx2,...,txN),也就是你说的”在(t*x_1,...,t*x_N)这一点取值“

小美她爹大帅
小美她爹大帅 (云想衣裳花想容呗~) 2010-07-27 12:23:21

然而,如果d(f(tx1,...,txN))/dxn表示(df/dxn)|x=(tx1,tx2,...,txN),那链式规则推导又说不通了啊

而且(3)式里d(f(tx1,...,txN))/dxn就只表示f在xn上的偏导,后头那项也表示在xn上的偏导,意义没什么不一样啊

focout
focout 2010-07-27 12:50:51

不,在你的推导里是有不一样的意思的,你的(3)式对X_n求导实际上并不是F这个函数对第n个变量求导,而是
g(t, x_1,...x_n,....x_N))=f(t*x_1,t*x_2, t*x_n)
这个N+1维函数对X_n这个变量求导。后面那像里头因为没有t,所以才是f这个函数的偏导。这是不一样的。

舟舟
舟舟 2012-04-21 00:04:40

我来说一下,书里原来的符号是为了与张量分析的惯用表述相一致,偏导数就是零阶张量,这是一种在应用数学中的惯用表述。rudin的书只是数学系的一本惯用教材而已,它可以根据需要选用自己的表示法,不必太过认真。这一符号本身的优越性,只有在推广到高阶张量时才会显现,初等的数分书(比如rudin)里一般不用,严谨的书为了一步到位才会介绍它,可以看看amann。另一方面,物理学家学的数学要比经济类多很多,符号方面有点不足很正常,懂物理的话基本一目了然;我的意思是,不建议刻意追求数学严格,数学的适用与否多少是试出来的。

伊万
伊万 2014-03-01 22:19:21

ls不知道凭什么说这种话,数学严密当然是必要的。否则推出一堆悖论看你怎么死。

可惜手头没这本书,否则可以来鉴定鉴定,哈哈

尐の遗失
尐の遗失 2016-01-28 20:40:00

这书我刚开始看,我觉得写得挺清晰的,虽然我完全没学过经济学。p18的证明是正确的,因为C(B)非空,所以肯定存在某个y在里面,这个y当然也在B里,而上一段性质对所有y都成立,取这个y,用弱公里即得结论。