Differential Forms in Algebraic Topology读后感
最近我读完了Raoul Bott的Differential Forms in Algebraic Topology（代数拓扑中的微分形式），开头还算是比较轻松愉快，后来遇到spectral sequences就开始发晕，到homotopy的时候就有点像放弃了，好在那是一个相对独立的章节，熬到最后的characteristic classes稍微总算好转一点。下面主要就比较熟悉前半部分，谈一点阅读体会。
书中一开始是介绍de Rham cohomology，一个特色就是并列了带有compactly supports的情形，这样可以处理noncompact的情形。然而，compact cohomology的很多性质是普通的cohomology相反的，这可以从Mayer-Vietoris sequence开始讨论。就Ω*函子而言，普通的cohomology是反变的，但compact cohomology却有两种选择，书中主要还是取的共变形式，这就使得关于compact cohomology的Mayer-Vietoris sequence中箭头的方向与通常的cohomology相反。
接着我们看Poincare lemma，普通的cohomology中可以把×R直接收缩掉，但对于compact cohomology而言，直接pullback会破坏compactly supports条件，最后只能得到一个降维的形式。当然，具体的证明需要对微分形式做细致的讨论，尽管两种cohomology的讨论有点类似，但似乎都比较繁琐。我们容易把Poincare lemma推广到向量丛M→E上，分别得到H^*(E)≌H^*(M)与H^*_c(E)≌H^(*-n)_c(M)，请注意对于compactly supports的情形，需要使用Poincare duality，因此要假定流形是有限型可定向的。
对于向量丛π：M→E而言，还有一种Poincare lemma for compact vertical supports，由此可以得到Thom同构：H^*_cv(E)≌H^(*-n)(M)，其中n是向量丛的维数。这样我们就可以定义定向向量丛E中的Thom class为H^*_cv(E)内的上同调类Φ，它通过π的拉回是π_*Φ=1∈H^0(M).然后我们在实二维向量丛上用微分几何方法定义Euler class，再出人意料的说明Euler class正是Thom class来通过零截面到M上的pullback。读到这里，有的人可能对“实二维”这个条件不满，但后面还是有所推广的，在sphere bundle上通过之字形拉回定义Euler class，然后再定义一般流形上的Euler class就是其sphere bundle的Euler class.这里我猜测bundle这个东西是比manifold更加高级的几何对象，记得manifold定向就可以由其tangent bundle的作为vector bundle的定向（不是作为manifold的定向）来诱导。而实二维的重要性则体现在后面对complex line bundle的讨论中，其上可以定义一阶Chern class为实二维向量丛的Euler class，进而再通过前面的Leray-Hirsch theorem作为展开系数定义高阶Chern class，进而定义Pontrjagin class.只不过我觉得书中的定义更侧重实用性，大概是因为作者对这个部分只想做个简单介绍的缘故吧。
书中最让我兴奋的是利用de Rham-Cech complex证明de Rham cohomology与Cech cohomology相等，它基于这样的一个同调引理：若一个增广双复形的行是正合的，那么其整体上同调等于其第一列的上同调。就de Rham-Cech complex而言，行正合性可由generalized Mayer-Vietoris Principle保证，其第一列的上同调正是de Rham cohomology，同理对良覆盖情形，其列正合性可由Poincare lemma保证，得到第一行的上同调为Cech cohomology，于是它们都等于整个双复形的上同调。后面还具体给出了它们的对应，不过计算似乎比较麻烦，也还没看到多少实际价值。
最后简单谈谈两块没完全看懂的部分。对于spectral sequences，很多讲homological algebra的书中都有介绍，但它们讲得都太抽象了，不同书的讲法差距还比较大。好在这本书中算是找到了不少实例，能够依葫芦画瓢算几个简单的实例，只是还没有完全吃透精神，稍微复杂一点的东西还是不会算。对于homotopy书中只是介绍一个概要，基础部分还比较能理解，但是一和spectral sequences结合就头痛了，还有待于我进一步学习研究啊！
书中一开始是介绍de Rham cohomology，一个特色就是并列了带有compactly supports的情形，这样可以处理noncompact的情形。然而，compact cohomology的很多性质是普通的cohomology相反的，这可以从Mayer-Vietoris sequence开始讨论。就Ω*函子而言，普通的cohomology是反变的，但compact cohomology却有两种选择，书中主要还是取的共变形式，这就使得关于compact cohomology的Mayer-Vietoris sequence中箭头的方向与通常的cohomology相反。
接着我们看Poincare lemma，普通的cohomology中可以把×R直接收缩掉，但对于compact cohomology而言，直接pullback会破坏compactly supports条件，最后只能得到一个降维的形式。当然，具体的证明需要对微分形式做细致的讨论，尽管两种cohomology的讨论有点类似，但似乎都比较繁琐。我们容易把Poincare lemma推广到向量丛M→E上，分别得到H^*(E)≌H^*(M)与H^*_c(E)≌H^(*-n)_c(M)，请注意对于compactly supports的情形，需要使用Poincare duality，因此要假定流形是有限型可定向的。
对于向量丛π：M→E而言，还有一种Poincare lemma for compact vertical supports，由此可以得到Thom同构：H^*_cv(E)≌H^(*-n)(M)，其中n是向量丛的维数。这样我们就可以定义定向向量丛E中的Thom class为H^*_cv(E)内的上同调类Φ，它通过π的拉回是π_*Φ=1∈H^0(M).然后我们在实二维向量丛上用微分几何方法定义Euler class，再出人意料的说明Euler class正是Thom class来通过零截面到M上的pullback。读到这里，有的人可能对“实二维”这个条件不满，但后面还是有所推广的，在sphere bundle上通过之字形拉回定义Euler class，然后再定义一般流形上的Euler class就是其sphere bundle的Euler class.这里我猜测bundle这个东西是比manifold更加高级的几何对象，记得manifold定向就可以由其tangent bundle的作为vector bundle的定向（不是作为manifold的定向）来诱导。而实二维的重要性则体现在后面对complex line bundle的讨论中，其上可以定义一阶Chern class为实二维向量丛的Euler class，进而再通过前面的Leray-Hirsch theorem作为展开系数定义高阶Chern class，进而定义Pontrjagin class.只不过我觉得书中的定义更侧重实用性，大概是因为作者对这个部分只想做个简单介绍的缘故吧。
书中最让我兴奋的是利用de Rham-Cech complex证明de Rham cohomology与Cech cohomology相等，它基于这样的一个同调引理：若一个增广双复形的行是正合的，那么其整体上同调等于其第一列的上同调。就de Rham-Cech complex而言，行正合性可由generalized Mayer-Vietoris Principle保证，其第一列的上同调正是de Rham cohomology，同理对良覆盖情形，其列正合性可由Poincare lemma保证，得到第一行的上同调为Cech cohomology，于是它们都等于整个双复形的上同调。后面还具体给出了它们的对应，不过计算似乎比较麻烦，也还没看到多少实际价值。
最后简单谈谈两块没完全看懂的部分。对于spectral sequences，很多讲homological algebra的书中都有介绍，但它们讲得都太抽象了，不同书的讲法差距还比较大。好在这本书中算是找到了不少实例，能够依葫芦画瓢算几个简单的实例，只是还没有完全吃透精神，稍微复杂一点的东西还是不会算。对于homotopy书中只是介绍一个概要，基础部分还比较能理解，但是一和spectral sequences结合就头痛了，还有待于我进一步学习研究啊！
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